Результант

У математиці, результантом двох многочленів ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$ над деяким полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$, зі старшими коефіцієнтами рівними одиниці, називається вираз

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{(x,y):\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),\,}$

іншими словами, результант дорівнює добутку попарних різниць між їхніми коренями. Добуток береться за всіма коренями в алгебричному замиканні поля ${\displaystyle \mathbb {K} }$ з урахуванням їх кратностей; оскільки вираз, що виходить, є симетричним многочленом від коренів многочленів ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$ (які, можливо не належать полю ${\displaystyle \mathbb {K} }$), його можна записати як многочлен від коефіцієнтів ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$. Для многочленів, старші коефіцієнти яких (${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ відповідно) не обов'язково рівні 1, наведений вище вираз домножується на

${\displaystyle p^{degQ}q^{degP}.\,}$

Властивості і способи обчислення

• Основна властивість результанта (і його основне застосування): результант — многочлен від коефіцієнтів ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$, рівний нулю в тому і лише в тому випадку, коли многочлени ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$ мають спільний корінь (можливо, в деякому розширенні поля ${\displaystyle \mathbb {K} }$).
• Результант дорівнює визначнику матриці Сильвестра.
• Дискримінант многочлена p можна визначити через результант p і його похідну p'.

${\displaystyle D(p)=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}{\frac {1}{p_{n}}}res(p,p'),\quad }$ де p_n — старший коефіцієнт многочлена p.

Для доведення спершу розглянемо випадок p_n=1. Тоді маємо ${\displaystyle g(x)=\prod (x-\alpha _{i})}$ і при ${\displaystyle x=\alpha _{j}}$ виконується рівність:

${\displaystyle g^{'}(x)=\prod _{i\neq j}(\alpha _{j}-\alpha _{i})\,}$

Звідси одержуємо:

${\displaystyle res(p,p')=\prod _{j}(p^{'}(\alpha _{j}))=\prod _{i\neq j}(\alpha _{j}-\alpha _{i})=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}D(p)}$

Звідси й одержується частковий випадок рівняння. Загальний випадок одержується якщо врахувати, що при домноженні многочлена p на константу p_n результант res(p, p') домножується на p^2n-1, а дискримінант D(p) домножується на p^2n-2

• Результант рівний добутку значень одного з многочленів за коренями іншого (як і раніше, добуток береться з урахуванням кратності коренів):

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x).\,}$

• ${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)}$
• ${\displaystyle \mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)}$
• Якщо ${\displaystyle P'=P+R\cdot Q\,}$ і ${\displaystyle \deg P'=\deg P\,}$, тоді ${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P',Q)\,}$
• Якщо ${\displaystyle X,Y,P,Q}$ є многочленами однакових степенів і ${\displaystyle X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q}$,

тоді   ${\displaystyle \mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)}$

• ${\displaystyle \mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)\,}$  де  ${\displaystyle P_{-}(z)=P(-z)\,}$

Посилання

• Стаття Weisstein, Eric W. «Resultant» на сайті «MathWorld».