Розподіл Гаусса — Кузьміна

У математиці, розподіл Гаусса–Кузьміна — це дискретний розподіл ймовірностей, який виникає як границя розподілу ймовірностей коефіцієнтів розширення неперервного дробу рівномірно розподіленої випадкової величини на (0, 1). Розподіл названо на честь Карла Фрідріха Гаусса, який вивів його близько 1800 року, і Родіона Кузьміна, який дав обмеження на швидкість збіжності 1929 року. Він задається функцією ймовірности:

Розподіл Гаусса — Кузьміна
Параметри	(нема)
Носій функції	${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle -\log _{2}\left[1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right]}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle 1-\log _{2}\left({\frac {k+2}{k+1}}\right)}$
Середнє	${\displaystyle +\infty }$
Медіана	${\displaystyle 2\,}$
Мода	${\displaystyle 1\,}$
Дисперсія	${\displaystyle +\infty }$
Коефіцієнт асиметрії	(не визначена)
Коефіцієнт ексцесу	(не визначена)
Ентропія	3.432527514776...
Твірна функція моментів (mgf)	{{{mgf}}}
Характеристична функція	{{{char}}}

${\displaystyle p(k)=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(1+k)^{2}}}\right)~.}$

Теорема Гаусса – Кузьміна

Нехай

${\displaystyle x={\frac {1}{k_{1}+{\frac {1}{k_{2}+\cdots }}}}}$

нескінченний дріб розширення випадкового рівномірно розподіленого на (0, 1) числа х. Тоді

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left\{k_{n}=k\right\}=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)~.}$

Аналогічно, нехай

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{k_{n+1}+{\frac {1}{k_{n+2}+\cdots }}}}~;}$

тоді

${\displaystyle \Delta _{n}(s)=\mathbb {P} \left\{x_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s)}$

прямує до нуля при n, що прямує до нескінченності.

Швидкість збіжності

Див. також: Швидкість збіжності

У 1928 році Кузьмін дав границю

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq C\exp(-\alpha {\sqrt {n}})~.}$

У 1929 році Поль Леві її поліпшив

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq C\,0.7^{n}~.}$

Пізніше, ^[en] показав, що для λ=0.30366… (^[en]), границя

${\displaystyle \Psi (s)=\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta _{n}(s)}{(-\lambda )^{n}}}}$

існує для кожного ${\displaystyle x\in [0;1]}$, а функція Ψ(х) є аналітичною і задовольняє Ψ(0)=Ψ(1)=0. Подальші границі були доведені К. І. Бабенком.

Див. також

• Стала Хінчина
• Константа Леві

Примітки

1. Blachman, N. (1984). The continued fraction as an information source (Corresp.). IEEE Transactions on Information Theory. 30 (4): 671—674. doi:10.1109/TIT.1984.1056924. (англ.)
2. Kornerup, Peter; Matula, David W. (July 1995). LCF: A lexicographic binary representation of the rationals. Journal of Universal Computer Science. 1: 484—503. doi:10.1007/978-3-642-80350-5_41. (англ.)
3. Vepstas, L. (2008), Entropy of Continued Fractions (Gauss-Kuzmin Entropy) (PDF), архів оригіналу (PDF) за 29 жовтня 2020, процитовано 16 грудня 2018 (англ.)
4. Weisstein, Eric W. Gauss–Kuzmin Distribution(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (англ.)
5. Gauss, Johann Carl Friedrich. Werke Sammlung. Т. 10/1. с. 552—556. (англ.)
6. Kuzmin, R. O. (1928). On a problem of Gauss. Dokl. Akad. Nauk SSSR: 375—380. (англ.)
7. Kuzmin, R. O. (1932). On a problem of Gauss. Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna. 6: 83—89.(італ.)
8. Lévy, P. (1929). Sur les lois de probabilité dont dépendant les quotients complets et incomplets d'une fraction continue. . 57: 178—194. JFM 55.0916.02. Архів оригіналу за 18 липня 2018. Процитовано 16 грудня 2018. (фр.)
9. Wirsing, E. (1974). On the theorem of Gauss–Kusmin–Lévy and a Frobenius-type theorem for function spaces. Acta Arithmetica. 24: 507—528.
10. Бабенко, К. И. (1978). “Об одной задаче Гаусса”. Докл. АН СССР. 238:5: 1021—1024. Процитовано 21 червня 2019. (рос.)