Ортотрикутник (ортоцентричний трикутник) — це трикутник Δabc, вершини якого є основами висот трикутника ∆ABC. Для ортотрикутника (для ортоцентричного трикутника) Δabc сам трикутник ∆ABC є трикутником трьох зовнішніх бісектрис. Тобто відрізки AB, BC і CA є трьома зовнішніми бісектрисами трикутника Δabc.
Властивості
- Задача Фаньяно. Ортоцентричний трикутник гострокутного трикутника АВС володіє найменшим периметром з усіх вписаних трикутників.
- Висоти гострокутного трикутника є бісектрисами кутів його ортотрикутника (отже, ортоцентр гострого трикутника є центром кола, вписаного в його ортотрикутник).
- Якщо точки A1, B1 і C1 на сторонах відповідно BC, AC і AB гострокутного трикутника ABC такі, що
- , і ,
то — ортотрикутник трикутника ABC.
- Якщо навколо даного гострокутного трикутника описати коло і в трьох вершинах трикутника провести прямі, дотичні до кола, то перетин цих прямих утворює трикутник, який називається тангенціальним трикутником відносно цього трикутника.
Властивості подібності родинних трикутників
- Вихідний трикутник по відношенню до ортотрикутника є трикутником трьох зовнішніх бісектрис.
- Ортотрикутник і тангенціальний трикутник подібні (Зетель, наслідок 1, §66, с. 81).
- Трикутник Жергонна ортотрикутника і вихідний трикутник подібні.
- Трикутник трьох зовнішніх бісектрис трикутника трьох зовнішніх бісектрис і вихідний трикутник подібні.
- Ортотрикутник трикутника Жергонна і вихідний трикутник подібні.
- Вище зазначені властивості подібності родинних трикутників є наслідком нижче перерахованих властивостей паралельності (антипаралельності) сторін родинних трикутників.
Властивості паралельності (антипаралельності) сторін родинних трикутників
- Сторони даного гострокутного трикутника антипаралельні відповідним сторонам ортотрикутника, проти яких вони лежать.
- Сторони тангенціального трикутника антипаралельні відповідним протилежним сторонам даного трикутника (по властивості антипаралельності дотичних до кола).
- Сторони тангенціального трикутника паралельні відповідним сторонам ортотрикутника.
- Якщо точки дотику вписаного в даний трикутник кола з'єднані відрізками, то вийде трикутник Жергонна. Нехай в отриманому трикутнику проведено висоти. Тоді прямі, що з'єднують підстави цих висот, паралельні сторонам вихідного трикутника. Отже, ортотрикутник трикутника Жергонна і вихідний трикутник подібні.
Інші властивості
- Площа ортотрикутника дорівнює:
де — площа трикутника ΔABC; - його відповідні сторони.
- Коло, описане навколо ортотрикутника Δabc, для самого трикутника ΔABC є (окружністю 9 точок), тобто одночасно проходить через 3 підстави медіан останнього. Зауважимо, що ці 3 підстави медіан є вершинами додаткового трикутника для трикутника ΔABC.
- Радіуси кола, описаного навколо даного трикутника ΔABC, проведені через його вершини, перпендикулярні відповідним сторонам ортотрикутника Δabc (Зетель, наслідок 2, §66, с. 81).
Примітки
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ortotrikutnik ortocentrichnij trikutnik ce trikutnik Dabc vershini yakogo ye osnovami visot trikutnika ABC Dlya ortotrikutnika dlya ortocentrichnogo trikutnika Dabc sam trikutnik ABC ye trikutnikom troh zovnishnih bisektris Tobto vidrizki AB BC i CA ye troma zovnishnimi bisektrisami trikutnika Dabc VlastivostiZadacha Fanyano Ortocentrichnij trikutnik gostrokutnogo trikutnika AVS volodiye najmenshim perimetrom z usih vpisanih trikutnikiv Visoti gostrokutnogo trikutnika ye bisektrisami kutiv jogo ortotrikutnika otzhe ortocentr gostrogo trikutnika ye centrom kola vpisanogo v jogo ortotrikutnik Yaksho tochki A1 B1 i C1 na storonah vidpovidno BC AC i AB gostrokutnogo trikutnika ABC taki sho B A 1 C 1 C A 1 B 1 displaystyle angle BA 1 C 1 angle CA 1 B 1 C B 1 A 1 A B 1 C 1 displaystyle angle CB 1 A 1 angle AB 1 C 1 i A C 1 B 1 B C 1 A 1 displaystyle angle AC 1 B 1 angle BC 1 A 1 to A 1 B 1 C 1 displaystyle A 1 B 1 C 1 ortotrikutnik trikutnika ABC Yaksho navkolo danogo gostrokutnogo trikutnika opisati kolo i v troh vershinah trikutnika provesti pryami dotichni do kola to peretin cih pryamih utvoryuye trikutnik yakij nazivayetsya tangencialnim trikutnikom vidnosno cogo trikutnika Vlastivosti podibnosti rodinnih trikutnikiv Vihidnij trikutnik D A B C displaystyle Delta ABC po vidnoshennyu do ortotrikutnika ye trikutnikom troh zovnishnih bisektris Ortotrikutnik i tangencialnij trikutnik podibni Zetel naslidok 1 66 s 81 Trikutnik Zhergonna ortotrikutnika i vihidnij trikutnik podibni Trikutnik troh zovnishnih bisektris trikutnika troh zovnishnih bisektris i vihidnij trikutnik podibni Ortotrikutnik trikutnika Zhergonna i vihidnij trikutnik podibni Vishe zaznacheni vlastivosti podibnosti rodinnih trikutnikiv ye naslidkom nizhche pererahovanih vlastivostej paralelnosti antiparalelnosti storin rodinnih trikutnikiv Vlastivosti paralelnosti antiparalelnosti storin rodinnih trikutnikiv Storoni danogo gostrokutnogo trikutnika antiparalelni vidpovidnim storonam ortotrikutnika proti yakih voni lezhat Storoni tangencialnogo trikutnika antiparalelni vidpovidnim protilezhnim storonam danogo trikutnika po vlastivosti antiparalelnosti dotichnih do kola Storoni tangencialnogo trikutnika paralelni vidpovidnim storonam ortotrikutnika Yaksho tochki dotiku vpisanogo v danij trikutnik kola z yednani vidrizkami to vijde trikutnik Zhergonna Nehaj v otrimanomu trikutniku provedeno visoti Todi pryami sho z yednuyut pidstavi cih visot paralelni storonam vihidnogo trikutnika Otzhe ortotrikutnik trikutnika Zhergonna i vihidnij trikutnik podibni Inshi vlastivosti Plosha ortotrikutnika dorivnyuye S o r t S 2 a b c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 c 2 b 2 b 2 c 2 a 2 displaystyle S ort frac S 2abc 2 a 2 b 2 c 2 a 2 c 2 b 2 b 2 c 2 a 2 de S displaystyle S plosha trikutnika DABC a b c displaystyle a b c jogo vidpovidni storoni Kolo opisane navkolo ortotrikutnika Dabc dlya samogo trikutnika DABC ye okruzhnistyu 9 tochok tobto odnochasno prohodit cherez 3 pidstavi median ostannogo Zauvazhimo sho ci 3 pidstavi median ye vershinami dodatkovogo trikutnika dlya trikutnika DABC Radiusi kola opisanogo navkolo danogo trikutnika DABC provedeni cherez jogo vershini perpendikulyarni vidpovidnim storonam ortotrikutnika Dabc Zetel naslidok 2 66 s 81 Primitki