Нерівність трикутника

Нерівність трикутника — основна властивість геометричних фігур евклідового простору, відстані, що використовується в геометрії, функціональному аналізі.

Три приклади нерівності трикутника для трикутників зі сторонами з довжинами x, y, z. Верхній приклад показує випадок, коли z є значно меншою за суму інших двох сторін x + y, а нижній приклад показує випадок, коли сторона z є лише трошки меншою за x + y.

Вона стверджує, що будь-яка сторона довільного трикутника менша за суму двох інших його сторін та більша за їх різницю.

Нерівність трикутника входить як аксіома в визначення метрики простору, норми.

Евклідова геометрія

Евклідова побудова доведення нерівності трикутника для планиметрії.

Нерівність трикутника є теоремою в Евклідовій геометрії, доведення наведено ще в «Началах» Евкліда.

В трикутнику ${\displaystyle \ \Delta ABC:\;\;|AC|\leqslant |AB|+|BC|,}$ причому рівність ${\displaystyle \ |AC|=|AB|+|BC|}$ досягається тільки тоді, коли трикутник вироджений і точка ${\displaystyle B}$ лежить строго між ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle C}$.

Нормований простір

Нерівність трикутника для норм векторів.

Якщо ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)}$ — нормований векторний простір, де ${\displaystyle V}$ — довільна множина, а ${\displaystyle \|\cdot \|}$ — визначена на ${\displaystyle V}$ норма. Тоді за визначенням норми:

${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\in V.}$

• В гільбертовім просторі, нерівність трикутника є безпосереднім єдинозворотнім нетривіальним наслідком нерівності Коші — Буняковского.

Метричний простір

Якщо ${\displaystyle \ (X,\rho )}$ — метричний простір, де ${\displaystyle X}$ — довільна множина, а ${\displaystyle \ \rho }$ — визначена на ${\displaystyle X}$ метрика. Тоді за визначенням метрики:

${\displaystyle \rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\in X.}$

Обернена нерівність трикутника

Наслідком нерівності трикутника в нормованому та метричному просторі є такі нерівності:

• ${\displaystyle {\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in V;}$
• ${\displaystyle |\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.}$

Джерела

• , Беллман Р. Неравенства. — Москва : Наука, 1965.(рос.)