Лема Гронуолла-Беллмана

Лема Гронуолла—Беллмана — лема про інтегральні (диференціальні) нерівності. Використовується для встановлення різноманітних оцінок в теорії звичайних диференціальних рівнянь та стохастичних диференціальних рівнянь. Зокрема, вона використовується при доведені єдиності розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння.

Формулювання

В інтегральній формі.

Нехай

• ${\displaystyle \quad u(t)\geqslant 0,\ }$
• ${\displaystyle \quad f(t)\geqslant 0,\ }$
• ${\displaystyle \quad u(t),f(t)\in C[t_{0},\infty ),\quad }$

причому при ${\displaystyle \quad t\geqslant t_{0}\quad }$ виконується нерівність:

${\displaystyle u(t)\leqslant c+\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau ,\qquad (1)}$

де ${\displaystyle \quad c}$ — деяка додатна константа. Тоді для довільного ${\displaystyle \quad t\geqslant t_{0}\quad }$ виконується оцінка

${\displaystyle u(t)\leqslant \,c\,\exp \,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,d\tau .\qquad (2)}$

В диференціальні формі.

Нехай

• ${\displaystyle \quad u(t)\in C^{1}(t_{0},\infty ),f(t)\in C[t_{0},\infty ),\quad }$

причому при ${\displaystyle \quad t\geqslant t_{0}\quad }$ виконується нерівність:

${\displaystyle u^{\prime }(t)\leqslant f(t)u(t),\qquad (1')}$

Тоді для довільного ${\displaystyle \quad t\geqslant t_{0}\quad }$ виконується оцінка

${\displaystyle u(t)\leqslant \,u(t_{0})\,\exp \,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,d\tau .\qquad (2')}$

Зауваження. В цьому випадку немає жодних припущень на знак функцій ${\displaystyle u(t),\,f(t)}$, але вимагається диференційовність функції ${\displaystyle u(t)}$.

Доведення

Із нерівності (1) отримуємо

${\displaystyle {\frac {u(t)}{c\ +\ \int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau }}\,\leqslant 1,}$

та

${\displaystyle {\frac {f(t)u(t)}{c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau }}\,\leqslant \,f(t),\qquad (3)}$

Оскільки

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\bigg [}c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau {\bigg ]}=f(t)u(t),}$

то, інтегруючи нерівність (3) в межах від ${\displaystyle \quad t_{0}}$ до ${\displaystyle \quad t}$, матимемо

${\displaystyle \ln {\bigg [}c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau {\bigg ]}\,-\,\ln c\,\leqslant \,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,d\tau .}$

Звідси, використовуючи нерівність (1), отримуємо

${\displaystyle u(t)\,\leqslant \,c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau \,\leqslant \,c\,\exp \int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,d\tau ,}$

що й треба було довести.

Примітки

1. Беллман Р., Теория устойчивости решений диференциальных уравнений, ИЛ, 1954
2. Bihari J., A genralizatial of differential equations, Acta math. Acad. Scient. Hung. VII, 1 (1956), 81-94

Джерела

1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рос.)