Ефект Аронова — Бома

Ефект Ааронова-Бома (англ. Aharonov-Bohm effect) — квантовомеханічний ефект, який характеризує вплив зовнішнього електромагнітного поля, що зосереджене в області, недосяжній для зарядженої частинки, на її квантовий стан. Наявність такого нелокального впливу електромагнітного поля на заряджену частинку, який зникає в класичному наближенні, підкреслює що при квантовому розгляді взаємодії зарядженої частинки з електромагнітним полем останнє не зводиться до локальної дії на неї сили Лоренца. Вперше на можливість такого ефекту вказали Еренберг (W.Ehrenberg) та (R.E.Siday) в 1949 році. Незалежно детальний теоретичний розгляд ефекту було здійснено Я. Аароновим та Д. Бомом в 1959 році, які підкреслили його тісний зв'язок положеннями квантової теорії. Їхні дослідження привернули увагу до особливої ролі електромагнітних потенціалів в квантовій теорії.

Опис ефекту

Типова схема спостереження ефекту Ааронова-Бома. Інтерференція спостерігається у випадку включення магнітного поля в тонкому соленоїді.

Формально можливість ефекту Ааронова-Бома обумовлена тим, що рівняння Шредінгера для хвильової функції зарядженої частинки в зовнішньому електромагнітному полі містить потенціал цього поля. Він визначає фазу хвильової функції і при виборі відповідної геометрії досліду призводить до інтерференційного ефекту навіть за відсутності прямої силової дії поля на частинку. Цей ефект не залежить від вибору калібрування потенціалів і обумовлений різницею фаз вздовж різних можливих шляхів розповсюдження частинки. Він існує як для скалярного, так і для векторного потенціалу електромагнітного поля.

Ефект яскраво проявляє себе при розсіюванні зарядженої частинки на нескінченному соленоїді радіусу ${\displaystyle R}$, який розташовано перпендикулярно до руху частинки. Всередині цього соленоїду є магнітний потік ${\displaystyle \Phi }$, який оточений непроникним для часток циліндричним екраном радіусу ${\displaystyle R_{0}>R}$. В цьому випадку хвильова функція частинки повністю зосереджена в області, де магнітне поле відсутнє і тільки векторний потенціал ${\displaystyle \mathbf {A} }$ відмінний від нуля завдяки теоремі Стокса:

${\displaystyle \oint \limits _{L}^{}\mathbf {A} \,d\mathbf {l} =\Phi }$,

де інтеграл береться вздовж контуру ${\displaystyle L}$, який охоплює соленоїд. Тому, хоч сила Лоренца на заряджену частинку не діє, проте амплітуда циліндричної хвилі, що розходиться, виявляється залежною від потоку магнітного поля. Вона містить два члени, один з яких описує розсіювання на екранній поверхні і зникає при ${\displaystyle R_{0}\to 0}$. Другий член, котрий не залежить від ${\displaystyle R_{0}}$, визначає амплітуду розсіювання Ааронова-Бома:

${\displaystyle f(\varphi )\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi k}}}{\frac {\sin(\pi \Phi /\Phi _{0})}{\sin(\varphi /2)}}}$

де ${\displaystyle \varphi }$- кут розсіювання, який вимірюється від напряму падаючої плоскої хвилі (яка описує вільну частинку з імпульсом ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$), а ${\displaystyle \Phi _{0}=2\pi \hbar c/e-}$ квант магнітного потоку (${\displaystyle e-}$ заряд частинки). Цією ж формулою описується амплітуда розсіювання зарядженої частинки на соленоїді без захисного екрану в граничному випадку нескінченно тонкого соленоїду (${\displaystyle R=0}$) із заданим потоком ${\displaystyle \Phi }$. Ця формула несправедлива в області малих кутів, де точний розрахунок показує наявність тіні за розсіювачем, причому коефіцієнт ослаблення амплітуди падаючої плоскої хвилі рівний ${\displaystyle \cos(\pi \Phi /\Phi _{0})}$.

Характерною особливістю розсіювання Ааронова-Бома є зникнення розсіяної хвилі, якщо магнітний потік в соленоїді дорівнює цілому числу (${\displaystyle n}$) квантів потоку ${\displaystyle \Phi =n\Phi _{0}}$. В цьому випадку точна хвильова функція відрізняється від хвильової функції вільної частинки лише на калібровочний множник ${\displaystyle \exp(in\phi )}$, і таке магнітне поле не впливає на квантовий стан частинки. Умова відсутності розсіювання Ааронова-Бома збігається з умовою квантування Дірака для «магнітних монополів».

При розсіянні на соленоїді хвильових пакетів ширини ${\displaystyle a}$ з параметром удару ${\displaystyle d}$ в амплітуді розсіяння виникає множник ${\displaystyle exp{\frac {-d^{2}}{2a^{2}}}}$, що зменшує її, якщо хвильовий пакет не охоплює соленоїд. Це показує, що класична заряджена частинка, що описується хвильовим пакетом зникаючо-малої ширини не відчуває на собі розсіяння Ааронова-Бома.

Електричний ефект Ааронова-Бома

Оскільки фаза хвильової функції залежить від векторного магнітного потенціалу, тому вона також залежить і від скалярного електричного потенціалу. Конструюючи ситуацію коли електростатичний потенціал змінюється на різних шляхах проходження частинки через області з нульовим електричним полем, також можна передбачити ефект Ааронова-Бома через явища інтерференції, обумовлені зсувом фази. Відсутність електричного поля означає те, що в класичному випадку тут просто не повинно було бути ніякого ефекту.

Із рівняння Шредінгера відомо, що фаза хвильової функції з енергією E має вигляд (пропорційна) ${\displaystyle \exp(-iEt/\hbar )}$. Проте енергія залежить від електростатичного потенціалу V для частинки із зарядом q. В частковому випадку, для області з постійним потенціалом V (нульове поле), енергія електростатичного поля qV просто додається до E викликаючи зсув фази.

${\displaystyle \Delta \phi =-{\frac {qVt}{\hbar }},}$

де t час, протягом якого частинка перебуває в потенціалі.

Дане теоретичне передбачення перевірялося експериментально^[] на зарядах, котрі проходили між провідними циліндрами вздовж двох шляхів. Циліндри екранували частинки від впливу зовнішніх електричних полів в області, де вони пролітали, проте зберігалася можливість зміни внутрішнього електричного поля шляхом прикладання зарядів до циліндрів. Звичайно, подібний експеримент занадто важкий для практичної реалізації. Тому були використані дещо інші схеми експерименту, які включали кільцеву геометрію, що переривалася тунельними бар'єрами, з прикладеними до бар'єрів напругами V. В цих схемах також виникає зсув фаз Ааронова-Бома, як і в попередніх випадках, що і було експериментально доведено в 1998 році.

Ефект Ааронова-Бома для зв'язаних станів

Існування ефекту Ааронова-Бома для зв'язаних станів можна продемонструвати на прикладі задачі про квантовий ротатор — квантово-механічному розгляді руху частинки орбітою заданого радіусу ${\displaystyle R_{0}}$. Якщо орбіта охоплює соленоїд з магнітним потоком ${\displaystyle \Phi }$, то спектр енергій зв'язаних стаціонарних станів ротатора

${\displaystyle E_{m}=(\hbar ^{2}/2MR_{0}^{2})(m-\Phi /\Phi _{0})^{2}}$

(де ${\displaystyle M}$ — маса частинки а ${\displaystyle m}$ — магнітне квантове число) явно залежить від магнітного потоку в соленоїді. Ця залежність стає очевидною, якщо розглянути процес включення магнітного поля в соленоїді під час якого виникає вихрове електричне поле, що міняє енергію частинки. Аналогічно взаємодіє і класична частинка, проте лише зміна її квантового стану (енергетичного спектру в даному випадку) дозволяє судити про наявність установленого магнітного потоку в соленоїді. При квантовому потоці ${\displaystyle \Phi =n\Phi _{0}}$ енергетичний спектр не відрізняється від спектру ротатора у відсутності соленоїда.

Ефект Ааронова-Бома для зарядженої частинки в однорідному магнітному полі ${\displaystyle B}$ в якому поміщений тонкий соленоїд з магнітним потоком ${\displaystyle \Phi }$ приводить до появи додаткової серії ${\displaystyle (N+1)}$-вироджених рівнів енергії ${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega (N+1/2\Phi /\Phi _{0})^{2}}$ (де ${\displaystyle \omega =eB/Mc}$ — циклотронна частота) зсунутих відносно рівнів Ландау на величину, що визначається дробовою частиною квантів магнітного потоку в соленоїді. Ці рівні відповідають квантовим орбітам що охоплюють соленоїд.

Експериментальне підтвердження

Експерименти зі спостереження ефекту Ааронова-Бома при розсіянні електронів магнітним полем проводились з 60-х років ХХ ст. Пучок монохроматичних електронів розділявся на два когерентних пучки, обтікаючих розсіювач — тонку нитку з магнітного матеріалу(1 мкм в перерізі) чи мініатюрний соленоїд(14 мкм в перерізі), магнітним потоком якого можна було управляти. Потім когеренетні пучки знов з'єднувались, утворюючи інтерференційну картину, що була в узгодженні з теоретичним обрахунком цього ефекту. Проте при аналізі цих експериментів потрібно враховувати спотворення інтерференційної картини викликані розсіяним магнітним полем, що виникло за рахунок неоднорідного намагнічення нитки і скінченних поздовжніх розмірів розсіювача. Сучасні експерименти з тороїдальним магнітом а також із надпровідними квантовими інтерферометрами вільні від цих недоліків і надійно підтверджують існування ефекту Ааронова-Бома.

Див. також

• Фаза Беррі

Примітки

1. Ehrenberg, W. and R. E. Siday, «The Refractive Index in Electron Optics and the Principles of Dynamics», Proc. Phys. Soc. London Sect. B 62, 8—21 (1949).
2. Aharonov, Y. and D. Bohm, «Significance of electromagnetic potentials in quantum theory», Phys. Rev. 115, 485—491 (1959).
3. van Oudenaarden, A., M. H. Devoret, Yu. V. Nazarov, and J. E. Mooij, "Magneto-electric Aharonov-Bohm effect in metal rings, " Nature 391, 768—770 (1998)

Література

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Физическая энциклопедия / Под ред. А. М. Прохорова. — М. : Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — 699 с.
• Bachtold, A., C. Strunk, J. P. Salvetat, J. M. Bonard, L. Forro, T. Nussbaumer and C. Schonenberger [ 28 грудня 2008 у Wayback Machine.], «Aharonov-Bohm oscillations in carbon nanotubes», Nature 397, 673 (1999).
• Imry, Y. and R. A. Webb, «Quantum Interference and the Aharonov-Bohm Effect», Scientific American, 260(4), April 1989.
• Kong, J., L. Kouwenhoven, and C. Dekker, «Quantum change for nanotubes», Physics Web [ 16 лютого 2007 у Wayback Machine.] (July 2004).
• London, F. «On the problem of the molecular theory of superconductivity», Phys. Rev. 74, 562—573 (1948).
• Murray, M. Line Bundles^{[недоступне посилання з квітня 2019]}, (2002).
• Olariu, S. and I. Iovitzu Popèscu, «The quantum effects of electromagnetic fluxes», Rev. Mod. Phys. 57, 339—436 (1985).
• Osakabe, N., T. Matsuda, T. Kawasaki, J. Endo, A. Tonomura, S. Yano, and H. Yamada, «Experimental confirmation of Aharonov-Bohm effect using a toroidal magnetic field confined by a superconductor». Phys Rev A. 34(2): 815—822 (1986). Abstract and full text. [ 14 серпня 2019 у Wayback Machine.]
• , Infinite Potential: The Life and Times of David Bohm (Addison-Wesley: Reading, MA, 1997). .
• Peshkin, M. [ 13 березня 2007 у Wayback Machine.] and Tonomura, A., The Aharonov-Bohm effect (Springer-Verlag: Berlin, 1989). .
• Schwarzschild, B. «Currents in Normal-Metal Rings Exhibit Aharonov-Bohm Effect». Phys. Today 39, 17—20, Jan. 1986.
• Sjöqvist, E. «Locality and topology in the molecular Aharonov-Bohm effect», Phys. Rev. Lett. 89 (21), 210401/1—3 (2002).
• Webb, R., S. Washburn, C. Umbach, and R. Laibowitz. Phys. Rev. Lett. 54, 2696 (1985).