Формули скороченого множення

Формули скороченого множення — поширені випадки множення многочленів.

Розбиття куба формулою ${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$.

Багато з них є окремими випадками біному Ньютона.

Формула	Назва
для квадратів
${\displaystyle \ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$	квадрат суми двох виразів
${\displaystyle \ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$	квадрат різниці двох виразів
${\displaystyle \ a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$	різниця квадратів двох виразів
${\displaystyle \ a^{2}+b^{2}=(a+{\sqrt {2ab}}+b)(a-{\sqrt {2ab}}+b)}$	сума квадратів двох виразів
${\displaystyle \ (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}$	квадрат суми трьох виразів
${\displaystyle \ (a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2ac+2bc}$	квадрат різниці трьох виразів
для кубів
${\displaystyle \ (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$ ${\displaystyle \ (a+b)^{3}=a^{3}+3ab(a+b)+b^{3}}$	куб суми двох виразів
${\displaystyle \ (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$ ${\displaystyle \ (a-b)^{3}=a^{3}-3ab(a-b)-b^{3}}$	куб різниці двох виразів
${\displaystyle \ a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$	сума кубів двох виразів
${\displaystyle \ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$	різниця кубів двох виразів
${\displaystyle \ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)}$	сума кубів трьох виразів
для четвертого степеня
${\displaystyle \ (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}}$	сума двох виразів в 4-ому степені
${\displaystyle \ (a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}}$	різниця двох виразів в 4-ому степені
${\displaystyle \ a^{4}-b^{4}=(a^{2}+b^{2})(a+b)(a-b)}$	різниця 4-их степенів двох виразів
для кратних степенів
${\displaystyle \ a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}$	різниця парних степенів двох виразів
${\displaystyle \ a^{3n}\pm b^{3n}=(a^{n}\pm b^{n})(a^{2n}\mp a^{n}b^{n}+b^{2n})}$	різниця потроєних степенів двох виразів

Формули для степеня n

• ${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}$

• ${\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})}$, де ${\displaystyle n\in N}$

• ${\displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})}$, де ${\displaystyle n\in N}$

Див. також

• Біном
• Формули елементарної математики

Джерела

• Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)