Конгруенція — відношення еквівалентності на алгебричній структурі, що зберігається за основних операцій. Поняття відіграє важливу роль в універсальній алгебрі: будь-яка конгруенція породжує відповідну фактор-структуру — розбиття початкової алгебричної структури на класи еквівалентності відносно конгруенції.
Визначення
Відношення на множині називають стабільним відносно -арної операції , визначеної на цій множині, якщо для будь-яких елементів () множини з істинності відношень () випливає істинність відношення .
Відношення називають конгруенцією на алгебричній системі , якщо воно стабільне відносно кожної з головних операцій системи . (За такого визначення поняття конгруенції не залежить від основних відношень системи .)
Фактор-структура
Для алгебричної системи на фактор-множині за конгруенцією для всіх операцій і відношень природним чином вводяться операції і відношення над відповідними класами суміжності:
- ,
- .
Отримана система позначається і називається фактор-структурою, а відображення , яке визначається правилом — канонічним епіморфізмом.
Множина всіх конгруенцій даної системи утворює повну ґратку відносно операцій об'єднання та перерізу, а також задає відношення включення:
- .
Для будь-якого набору конгруенцій заданої алгебричної системи має місце такий результат (теорема Ремака): фактор-структура за перерізом набору конгруенцій вкладається в прямий добуток фактор-структур за кожною з конгруенцій набору:
- .
Джерела
- Бурбаки Н. Алгебра ч.1 Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. — М. : ГИФМЛ, 1962. — С. 516. — (Елементи математики)(рос.)
- Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
- Мальцев А. И. Алгебраические системы. — Москва : Наука, 1970. — 392 с.(рос.)
- Артамонов В.А., Салий В.Н., Скорняков Л.А. и др. Общая алгебра / Под ред. . — М. : Наука, 1991. — Т. 2. — 480 с. — () — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kongruenciya vidnoshennya ekvivalentnosti na algebrichnij strukturi sho zberigayetsya za osnovnih operacij Ponyattya vidigraye vazhlivu rol v universalnij algebri bud yaka kongruenciya porodzhuye vidpovidnu faktor strukturu rozbittya pochatkovoyi algebrichnoyi strukturi na klasi ekvivalentnosti vidnosno kongruenciyi ViznachennyaVidnoshennya 8 x 1 x m displaystyle theta x 1 ldots x m na mnozhini A displaystyle A nazivayut stabilnim vidnosno n displaystyle n arnoyi operaciyi f displaystyle f viznachenoyi na cij mnozhini yaksho dlya bud yakih elementiv a i 1 a i m displaystyle a i1 ldots a im i 1 n displaystyle i 1 ldots n mnozhini A displaystyle A z istinnosti vidnoshen 8 a i 1 a i m displaystyle theta a i1 ldots a im i 1 n displaystyle i 1 ldots n viplivaye istinnist vidnoshennya 8 f a 11 a n 1 f a 1 m a n m displaystyle theta f a 11 ldots a n1 ldots f a 1m ldots a nm Vidnoshennya 8 displaystyle theta nazivayut kongruenciyeyu na algebrichnij sistemi A displaystyle mathfrak A yaksho vono stabilne vidnosno kozhnoyi z golovnih operacij sistemi A displaystyle mathfrak A Za takogo viznachennya ponyattya kongruenciyi ne zalezhit vid osnovnih vidnoshen sistemi A displaystyle mathfrak A Faktor strukturaDokladnishe Faktor struktura Dlya algebrichnoyi sistemi A A F P displaystyle mathfrak A A mathit Phi mathit mathrm P na faktor mnozhini A 8 displaystyle A theta za kongruenciyeyu 8 A 2 displaystyle theta subseteq A 2 dlya vsih operacij f i F displaystyle f i in mathit Phi i vidnoshen r i P displaystyle r i in mathit mathrm P prirodnim chinom vvodyatsya operaciyi i vidnoshennya nad vidpovidnimi klasami sumizhnosti f i a 1 8 a n 8 f i a 1 a n 8 displaystyle f i star a 1 theta dots a n theta f i a 1 dots a n theta r i a 1 8 a m 8 b 1 a 1 8 b m a m 8 r i b 1 b m displaystyle r i star a 1 theta dots a m theta Leftrightarrow exists b 1 in a 1 theta dots b m in a m theta r i b 1 dots b m Otrimana sistema poznachayetsya A 8 displaystyle mathfrak A theta i nazivayetsya faktor strukturoyu a vidobrazhennya h 8 A A 8 displaystyle h theta colon mathfrak A to mathfrak A theta yake viznachayetsya pravilom h 8 a a 8 displaystyle h theta a a theta kanonichnim epimorfizmom Mnozhina vsih kongruencij danoyi sistemi C o n A displaystyle mathrm Con mathfrak A utvoryuye povnu gratku vidnosno operacij ob yednannya ta pererizu a takozh zadaye vidnoshennya vklyuchennya 8 1 8 2 a b A a 8 1 b a 8 2 b displaystyle theta 1 leqslant theta 2 Leftrightarrow forall a b in A a theta 1 b to a theta 2 b Dlya bud yakogo naboru kongruencij zadanoyi algebrichnoyi sistemi 8 i i I C o n A displaystyle theta i i in I subseteq mathrm Con mathfrak A maye misce takij rezultat teorema Remaka faktor struktura za pererizom naboru kongruencij vkladayetsya v pryamij dobutok faktor struktur za kozhnoyu z kongruencij naboru A i I 8 i i I A 8 i displaystyle mathcal A bigcap i in I theta i hookrightarrow prod i in I mathfrak A theta i DzherelaBurbaki N Algebra ch 1 Algebraicheskie struktury Linejnaya i polilinejnaya algebra M GIFML 1962 S 516 Elementi matematiki ros Universalnaya algebra Moskva Mir 1968 351 s ros Malcev A I Algebraicheskie sistemy Moskva Nauka 1970 392 s ros Artamonov V A Salij V N Skornyakov L A i dr Obshaya algebra Pod red M Nauka 1991 T 2 480 s ISBN 5 02 014427 4 ros