У математиці куб Гільберта названий на честь Девіда Гільберта, — це топологічний простір, який служить повчальним прикладом деяких ідей у топології. Крім того, багато цікавих топологічних просторів можна вкласти в куб Гільберта; тобто їх можна розглядати як підпростори куба Гільберта (див. нижче).
Означення
Куб Гільберта найкраще визначити як топологічний добуток інтервалів для .
Тобто це кубоїд зліченної нескінченної розмірності, де довжини ребер у кожному ортогональному напрямку утворюють послідовність .
Куб Гільберта гомеоморфний добутку зліченної нескінченної кількості копій одиничного інтервалу .
Іншими словами, його топологічно не можна відрізнити від [en] зліченної нескінченної розмірності.
Якщо точка в кубі Гільберта задана послідовністю з , тоді гомеоморфізм в нескінченномірний одиничний куб визначається як .
Куб Гільберта як метричний простір
Інколи зручно уявляти куб Гільберта як метричний простір, більш того як певну підмножину сепарабельного гільбертового простору (тобто простір Гільберта зі зліченно нескінченним базисом Гільберта). Для цього краще представляти куб не як добуток копій інтервалів , а як добуток інтервалів
- ;
як зазначено вище, для топологічних властивостей це не має значення. Тобто елемент куба Гільберта є нескінченною послідовністю , частини якої задовільняють нерівність .
Будь-яка така послідовність належить гільбертовому простору , тому куб Гільберта наслідує метрику звідти. Можна показати, що топологія, яка індукована метрикою, є такою ж, як топологія добутку у наведеному вище означенні.
Властивості
Як продукт компактних гаусдорфових просторів, куб Гільберта сам є компактним гаусдорфовим простором відповідно до теореми Тихонова. Компактність куба Гільберта також можна довести без аксіоми вибору, побудувавши неперервну функцію зі звичайної множини Кантора в куб Гільберта.
У жодна точка не має компактного околу (отже, не є локально компактним). Можна очікувати, що всі компактні підмножини простору є скінченновимірними, однак куб Гільберта показує, що це не так. Адже він не може бути околом деякої точки , оскільки його сторона стає все меншою і меншою зі збільшенням розмірності і відкрита куля навколо точки будь-якого фіксованого радіуса повинна виходити за межі куба у деякій розмірності.
Будь-яка нескінченновимірна опукла компактна підмножина простору гомеоморфна кубу Гільберта. Куб Гільберта — це опукла множина, лінійною оболонкою якої є весь простір, проте внутрішня частина пуста множина. Така ситуація неможлива в скінченних розмірностях. Дотичним конусом до куба у нуль-векторі є весь простір.
Кожна підмножина куба Гільберта успадковує від нього властивість метричності (і, отже, аксіому T4) і другу аксіому зліченності. Більш цікаво, що має місце і зворотне: будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності і аксіому T4 гомеоморфний підмножині куба Гільберта.
Будь-яка -підмножина куба Гільберта є польським простором, тобто топологічним простором, що гомеоморфний сепарабельному та повному метричному простору. І навпаки, будь-який польський простір гомеоморфний -підмножині куба Гільберта.
Примітки
- Srivastava, pp. 55
Література
- Srivastava, Shashi Mohan (1998). A Course on Borel Sets. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN . Процитовано 4 грудня 2008.
- [The homomorphism of the compact convex sets in Hilbert space] (нім.). EUDML. Архів оригіналу за 2 березня 2020.
Додаткова література
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ne plutati z Kriva Gilberta U matematici kub Gilberta nazvanij na chest Devida Gilberta ce topologichnij prostir yakij sluzhit povchalnim prikladom deyakih idej u topologiyi Krim togo bagato cikavih topologichnih prostoriv mozhna vklasti v kub Gilberta tobto yih mozhna rozglyadati yak pidprostori kuba Gilberta div nizhche OznachennyaKub Gilberta najkrashe viznachiti yak topologichnij dobutok intervaliv 0 1 n displaystyle 0 1 n dlya n 1 2 3 4 displaystyle n 1 2 3 4 dots Tobto ce kuboyid zlichennoyi neskinchennoyi rozmirnosti de dovzhini reber u kozhnomu ortogonalnomu napryamku utvoryuyut poslidovnist 1 n n N displaystyle 1 n n in mathbb N Kub Gilberta gomeomorfnij dobutku zlichennoyi neskinchennoyi kilkosti kopij odinichnogo intervalu 0 1 displaystyle 0 1 Inshimi slovami jogo topologichno ne mozhna vidrizniti vid en zlichennoyi neskinchennoyi rozmirnosti Yaksho tochka v kubi Gilberta zadana poslidovnistyu a n displaystyle a n z 0 a n 1 n displaystyle 0 leq a n leq 1 n todi gomeomorfizm v neskinchennomirnij odinichnij kub viznachayetsya yak h a n n a n displaystyle h a n n cdot a n Kub Gilberta yak metrichnij prostirInkoli zruchno uyavlyati kub Gilberta yak metrichnij prostir bilsh togo yak pevnu pidmnozhinu separabelnogo gilbertovogo prostoru tobto prostir Gilberta zi zlichenno neskinchennim bazisom Gilberta Dlya cogo krashe predstavlyati kub ne yak dobutok kopij intervaliv 0 1 displaystyle 0 1 a yak dobutok intervaliv 0 1 0 1 2 0 1 3 displaystyle 0 1 times 0 1 2 times 0 1 3 times cdots yak zaznacheno vishe dlya topologichnih vlastivostej ce ne maye znachennya Tobto element kuba Gilberta ye neskinchennoyu poslidovnistyu x n displaystyle x n chastini yakoyi zadovilnyayut nerivnist 0 x n 1 n displaystyle 0 leq x n leq 1 n Bud yaka taka poslidovnist nalezhit gilbertovomu prostoru ℓ 2 displaystyle ell 2 tomu kub Gilberta nasliduye metriku zvidti Mozhna pokazati sho topologiya yaka indukovana metrikoyu ye takoyu zh yak topologiya dobutku u navedenomu vishe oznachenni VlastivostiYak produkt kompaktnih gausdorfovih prostoriv kub Gilberta sam ye kompaktnim gausdorfovim prostorom vidpovidno do teoremi Tihonova Kompaktnist kuba Gilberta takozh mozhna dovesti bez aksiomi viboru pobuduvavshi neperervnu funkciyu zi zvichajnoyi mnozhini Kantora v kub Gilberta U ℓ 2 displaystyle ell 2 zhodna tochka ne maye kompaktnogo okolu otzhe ℓ 2 displaystyle ell 2 ne ye lokalno kompaktnim Mozhna ochikuvati sho vsi kompaktni pidmnozhini prostoru ℓ 2 displaystyle ell 2 ye skinchennovimirnimi odnak kub Gilberta pokazuye sho ce ne tak Adzhe vin ne mozhe buti okolom deyakoyi tochki p displaystyle p oskilki jogo storona staye vse menshoyu i menshoyu zi zbilshennyam rozmirnosti i vidkrita kulya navkolo tochki p displaystyle p bud yakogo fiksovanogo radiusa e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 povinna vihoditi za mezhi kuba u deyakij rozmirnosti Bud yaka neskinchennovimirna opukla kompaktna pidmnozhina prostoru ℓ 2 displaystyle ell 2 gomeomorfna kubu Gilberta Kub Gilberta ce opukla mnozhina linijnoyu obolonkoyu yakoyi ye ves prostir prote vnutrishnya chastina pusta mnozhina Taka situaciya nemozhliva v skinchennih rozmirnostyah Dotichnim konusom do kuba u nul vektori ye ves prostir Kozhna pidmnozhina kuba Gilberta uspadkovuye vid nogo vlastivist metrichnosti i otzhe aksiomu T4 i drugu aksiomu zlichennosti Bilsh cikavo sho maye misce i zvorotne bud yakij prostir sho zadovolnyaye drugu aksiomu zlichennosti i aksiomu T4 gomeomorfnij pidmnozhini kuba Gilberta Bud yaka G d displaystyle G delta pidmnozhina kuba Gilberta ye polskim prostorom tobto topologichnim prostorom sho gomeomorfnij separabelnomu ta povnomu metrichnomu prostoru I navpaki bud yakij polskij prostir gomeomorfnij G d displaystyle G delta pidmnozhini kuba Gilberta PrimitkiSrivastava pp 55LiteraturaSrivastava Shashi Mohan 1998 A Course on Borel Sets Graduate Texts in Mathematics Springer Verlag ISBN 978 0 387 98412 4 Procitovano 4 grudnya 2008 The homomorphism of the compact convex sets in Hilbert space nim EUDML Arhiv originalu za 2 bereznya 2020 Dodatkova literaturaSteen Lynn Arthur Seebach J Arthur Jr 1995 Counterexamples in Topology vid Dover reprint of 1978 Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 486 68735 3 MR 0507446