Перетворення годографа

Перетворення годографа — частинний випадок точкових перетворень, які використовуються для спрощення нелінійних рівнянь з частинними похідними та їх систем.

Визначення

Для рівняння з двома незалежними змінними

${\displaystyle x,t}$ та шуканою функцією

${\displaystyle w=w(x,t)}$ перетворення годографа полягає в тому, що розв'язок шукається в неявному вигляді (${\displaystyle x,t}$ можна переставити місцями):

${\displaystyle x=x(t,w)}$,тобто ${\displaystyle t,w}$ стають незалежними змінними, а ${\displaystyle x}$ - залежною.

Перетворення годографа не змінює порядок рівняння та є точковим перетворенням. Його можна записати в еквівалентному вигляді:

${\displaystyle x=w',t=t',w=x'}$.

Приклад застосування перетворення годографа

• Нелінійне рівняння другого порядку

${\displaystyle w_{t}(w_{x})^{2}=aw_{xx}}$

зводиться до лінійного рівняння теплопровідності

${\displaystyle x_{t}=ax_{ww}}$.

Див. також

• Група Лі
• Теорія груп

Джерела

Polyanin A.D., Zaitsev V.F., Handbook of ordinary differential equations. Exact solutions, Nauka(1995),560 pp.