Індуктивність

Індуктивність (англ. inductance) — фізична величина, що характеризує здатність провідника накопичувати енергію магнітного поля, коли в ньому протікає електричний струм.

Індуктивність
Символи:	L
Одиниці вимірювання
SI	генрі (Гн)
У базових величинах SI:	кг⋅м^2⋅с^−2⋅А^−2
Розмірність:	M^1·L^2·T^−2·I^−2

Символом величини здебільшого є латинська літера ${\displaystyle L}$, у системі SI індуктивність вимірюється в генрі (позначення одиниці: Гн, міжнародне: H).

Дорівнює відношенню магнітного потоку ${\displaystyle \Phi }$ через контур, визначений електричним колом, до величини струму ${\displaystyle I}$ в колі, тобто

${\displaystyle L=\Phi /I}$.

Енергія магнітного поля, створеного електричним струмом у колі, визначається формулою

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}LI^{2}}$.

Індуктивність є електричною інерцією, подібною до механічної інерції тіл. А ось мірою цієї електричної інерції як властивістю провідника може служити ЕРС самоіндукції. Характеризується властивістю провідника протидіяти появі, припиненню і будь-якій зміні електричного струму в ньому.

Індуктивність залежить від форми контуру.

У формулі:

${\displaystyle \displaystyle \Psi =LI}$

${\displaystyle \displaystyle \Psi }$ — потокозчеплення, ${\displaystyle I}$ — струм у контурі, ${\displaystyle L}$ — індуктивність.

Нерідко кажуть про індуктивність прямого довгого провідника (див.). У цьому і в інших випадках (особливо таких, до яких не застосовується квазістаціонарне наближення), коли замкнутий контур непросто адекватно і однозначно вказати, наведене вище визначення вимагає особливих уточнень; почасти корисним для цього виявляється згадуваний нижче підхід, що зв'язує індуктивність з енергією магнітного поля.

Через індуктивність виражається ЕРС самоіндукції в контурі, яка виникає під час змінювання в ньому струму:

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}=-{\frac {d\Phi }{dt}}=-L{\frac {dI}{dt}}}$.

З цієї формули випливає, що індуктивність чисельно дорівнює ЕРС самоіндукції (у вольтах), що виникає в контурі під час змінення сили струму на 1 А за 1 с.

Практично ділянки кола зі значною індуктивністю виконують у вигляді котушок індуктивності. Елементами малої індуктивності (застосовуваними для великих робочих частот) можуть бути поодинокі (зокрема й неповні) витки або навіть прямі провідники; за високих робочих частот необхідно враховувати індуктивність кожного провідника.

Для імітації індуктивності, тобто ЕРС на елементі, пропорційної і протилежної за знаком до швидкості зміни струму через цей елемент, в електроніці використовують і пристрої, не засновані на електромагнітній індукції (див. ); такому елементу можна приписати певну ефективну індуктивність, використовувану в розрахунках повністю (хоча взагалі кажучи з певними обмежувальними умовами) аналогічно тому, як використовується звичайна індуктивність.

Позначення й одиниці вимірювання

В системі одиниць SI індуктивність виражають у генрі, скорочено «Гн». Контур має індуктивність 1 генрі, якщо під час змінювання струму на 1 А за секунду на виводах контуру виникає напруга 1 В.

У варіантах системи СГС — системі СГСМ і в гаусовій системі індуктивність вимірюють у сантиметрах (1 Гн = 10⁹ см; 1 см = 1 нГн); для сантиметрів як одиниць індуктивності застосовують також назву абгенрі. В системі СГСЕ одиницю вимірювання індуктивності або залишають безіменною, або іноді називають (1 статгенрі ≈ 8.987552×10¹¹ генрі: коефіцієнт переведення чисельно дорівнює 10⁻⁹ від квадрата швидкості світла, вираженої в см/с).

Символ L, використовуваний для позначення індуктивності, прийнято на честь Емілія Ленца. Одиницю вимірювання індуктивності названо на честь Джозефа Генрі. Сам термін індуктивність у лютому 1886 року запропонував Олівер Гевісайд.

Теоретичне обґрунтування

Якщо в провідному контурі тече струм, то струм створює магнітне поле.

Розгляд вестимемо у квазістатичному наближенні, маючи на увазі, що змінні електричні поля достатньо слабкі або змінюються достатньо повільно, щоб можна було знехтувати магнітними полями, які вони породжують.

Струм вважаємо однаковим по всій довжині контуру (нехтуючи ємністю провідника, яка дозволяє накопичувати заряди в різних його ділянках, що викликало б неоднаковість струму уздовж провідника і помітно ускладнило б картину).

За законом Біо — Савара — Лапласа, величина вектора магнітної індукції, створюваної деяким елементарним (в сенсі геометричної малості ділянки провідника, що розглядається як елементарне джерело магнітного поля) струмом у кожній точці простору, пропорційна цьому струму. Підсумовуючи поля, створювані кожною елементарною ділянкою, приходимо до того, що й магнітне поле (вектор магнітної індукції), створюване всім провідником, також пропорційне породжувальному струму.

Попереднє міркування справедливе для вакууму. За наявності магнітного середовища (магнетика) з помітною (або навіть великою) магнітною сприйнятливістю, вектор магнітної індукції (який і входить у вираз для магнітного потоку) буде помітно (або навіть у багато разів) відрізнятися від того, яким би він був за відсутності магнетика (у вакуумі). Тут обмежимося лінійним наближенням, тоді вектор магнітної індукції, хоча, можливо, й зріс (або зменшився) в помітну кількість разів у порівнянні з відсутністю магнетика при тому ж контурі зі струмом, проте залишається пропорційним породжувальному струму.

Тоді магнітний потік, тобто потік поля вектора магнітної індукції:

${\displaystyle \Phi =\int \limits _{S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dS} }$

через будь-яку конкретну фіксовану поверхню S (зокрема і через поверхню, що цікавить нас, краєм якої є контур зі струмом) буде пропорційний струму, оскільки пропорційне струму B всюди під інтегралом.

Зауважимо, що поверхня, краєм якої є контур, може бути досить складною, якщо складний сам контур. Вже для контуру у вигляді просто багатовиткової котушки така поверхня виявляється досить складною. На практиці це призводить до використання деяких спрощувальних уявлень, які дозволяють приблизно розрахувати потік через поверхню (а також у зв'язку з цим вводяться деякі додаткові спеціальні поняття, докладно описані в окремому параграфі нижче). Однак тут, за суто теоретичного розгляду немає необхідності вводити якісь додаткові спрощувальні уявлення, досить просто зауважити, що яким би не був складним контур, у цьому параграфі ми маємо на увазі «повний потік» — тобто потік через усю складну (ніби багатолисткову) поверхню, натягнуту на всі витки котушки (якщо йдеться про котушку), тобто про те, що називається потокозчепленням. Але оскільки нам тут не треба конкретно розраховувати його, а потрібно тільки знати, що воно пропорційне струму, нас не дуже цікавить конкретний вигляд поверхні, потік через яку ми шукаємо (адже властивість пропорційності струму зберігається для будь-якої).

Отже, ми довели:

${\displaystyle \Phi \ }$ ~ ${\displaystyle \ I,}$

цього достатньо, щоб стверджувати, ввівши позначення L для коефіцієнта пропорційності, що

${\displaystyle \Phi =LI.}$

На закінчення теоретичного обґрунтування покажемо, що міркування коректне тому, що магнітний потік залежить від конкретної форми поверхні, натягнутої на контур. (Дійсно, навіть на найпростіший контур можна натягнути — в тому сенсі, що контур має бути її краєм — не єдина поверхня, а різні, наприклад, розпочавши з двох поверхонь, що збігаються, потім одну поверхню можна трохи прогнути, і вона не буде збігатися з другою). Тому треба показати, що магнітний потік однаковий для будь-яких поверхонь, натягнутих на той самий контур.

Але це справді так: візьмемо дві такі поверхні. Разом вони становитимуть одну замкнуту поверхню. А ми знаємо (із закону Гауса для магнітного поля), що магнітний потік через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулю. Це (з урахуванням знаків) означає, що потік через одну поверхню та іншу поверхню — рівні. Що доводить коректність визначення.

Властивості індуктивності

• Індуктивність завжди додатна.
• Індуктивність залежить тільки від геометричних розмірів контуру та магнітних властивостей середовища (осердя).

Індуктивність одновиткового контуру та індуктивність котушки

Величина магнітного потоку, що пронизує одновитковий контур, пов'язана з величиною струму так:

${\displaystyle \displaystyle \Phi =LI}$

де ${\displaystyle L}$ — Індуктивність витка. У разі котушки, що складається з N витків попередній вираз набуває вигляду:

${\displaystyle \displaystyle \Psi =LI}$

де ${\displaystyle \Psi =\sum \limits _{i=1}^{N}{\Phi _{i}}}$ — сума магнітних потоків через усі витки (це так званий повний потік, званий в електротехніці потокозчепленням, саме він фігурує як магнітний потік узагалі у випадку для котушки в загальному визначенні індуктивності і в теоретичному розгляді вище; проте для спрощення та зручності для багатовиткових котушок в електротехніці користуються окремим поняттям та окремим позначенням), а ${\displaystyle L}$ — вже індуктивність багатовиткової котушки. Коефіцієнт пропорційності ${\displaystyle L}$ інакше називають коефіцієнтом самоіндукції контуру або просто індуктивністю.

Якщо потік, що пронизує кожен з витків однаковий (що досить часто можна вважати істинним для котушки в непоганому наближенні), то ${\displaystyle \Psi =N\Phi }$ . Відповідно, ${\displaystyle L_{N}=L_{1}N^{2}}$ (Сумарний магнітний потік через кожен виток збільшується в N разів — оскільки його створюють тепер N одиничних витків, і потокозчеплення ще в N разів, оскільки це потік через N одиничних витків). Але в реальних котушках магнітні поля в центрі та на краях відрізняються, тому використовуються складніші формули.

Індуктивність соленоїда

Котушка у формі соленоїда (скінченної довжини).

Соленоїд — котушка, довжина якої набагато більша, ніж її діаметр (також у подальших викладках мається на увазі, що товщина обмотки набагато менша, ніж діаметр котушки). За цих умов і без використання магнітного осердя густина магнітного потоку (або магнітна індукція) ${\displaystyle B}$, яка виражається в системі СІ в теслах, усередині котушки далеко від її кінців (приблизно) дорівнює

${\displaystyle \displaystyle B=\mu _{0}Ni/l}$

або

${\displaystyle \displaystyle B=\mu _{0}ni,}$

де ${\displaystyle \mu _{0}}$ − магнітна стала, ${\displaystyle N}$ − число витків, ${\displaystyle i}$ − струм, А, ${\displaystyle l}$ − довжина котушки, м та ${\displaystyle n}$ — щільність намотування витків, м⁻¹. Нехтуючи крайовими ефектами на кінцях соленоїда, отримаємо, що потокозчеплення через котушку дорівнює густині потоку ${\displaystyle B}$, Тл, помноженій на площу поперечного перерізу ${\displaystyle S}$, м² та число витків ${\displaystyle N}$:

${\displaystyle \displaystyle \Psi =\mu _{0}N^{2}iS/l=\mu _{0}n^{2}iV,}$

де ${\displaystyle V=Sl}$ − об'єм котушки. Звідси випливає формула для індуктивності соленоїда (без осердя):

${\displaystyle \displaystyle L=\mu _{0}N^{2}S/l=\mu _{0}n^{2}V.}$

Якщо котушка всередині повністю заповнена магнітним осердям, то індуктивність відрізняється на множник ${\displaystyle \mu }$ — відносну магнітну проникність осердя:

${\displaystyle \displaystyle L=\mu _{0}\mu N^{2}S/l=\mu _{0}\mu n^{2}V.}$

У випадку, коли ${\displaystyle \mu >>1}$, під S можна розуміти площу перерізу осердя, м² і користуватися цією формулою навіть за товстого намотування, якщо повна площа перерізу котушки не перевищує площі перерізу осердя в багато разів.

Індуктивність тороїдальної котушки (котушки з кільцевим осердям)

Тороїдальна котушка

Для тороїдальної котушки, намотаної на осерді з матеріалу з великою магнітною проникністю, можна приблизно користуватися формулою для нескінченного прямого соленоїда (див. вище):

${\displaystyle L=N^{2}\cdot {\frac {\mu _{0}\mu S}{2\pi r}},\,}$

де ${\displaystyle 2\pi r}$ — оцінка довжини соленоїда (${\displaystyle r}$ — середній радіус тора). Найкраще наближення дає формула

${\displaystyle L=N^{2}\cdot {\frac {\mu _{0}\mu h}{2\pi }}\cdot \ln {\frac {R}{r}},\,}$

де передбачається осердя прямокутного перерізу із зовнішнім радіусом R і внутрішнім радіусом r, висотою h .

Індуктивність довгого прямого провідника

Індуктивність є розподіленою і характеризується значенням індуктивності на одиницю довжини.

Для довгого прямого (або квазілінійного) проводу кругового перерізу індуктивність виражається наближеною формулою:

${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}l{\Big (}\mu _{e}\mathrm {ln} {\frac {l}{r}}+{\frac {1}{4}}\mu _{i}{\Big )},}$

де ${\displaystyle \mu _{0}}$ − магнітна стала, ${\displaystyle \mu _{e}}$ — відносна магнітна проникність зовнішнього середовища (яким заповнено простір (для вакууму ${\displaystyle \mu _{e}=1}$), ${\displaystyle \mu _{i}}$ − відносна магнітна проникність матеріалу провідника, ${\displaystyle l}$ − довжина дроту, ${\displaystyle r<<l}$ − радіус його перерізу.

Коефіцієнти індуктивності

У випадку кількох контурів зі струмом, як, наприклад, у випадку трансформатора, струм у кожному з кіл впливає на потік магнітного поля через інші контури.

${\displaystyle \Phi _{i}=\sum _{j}L_{ij}I_{j}\,}$.

Коефіцієнти ${\displaystyle L_{ij}}$ називаються коефіцієнтами індукції. Діагональні елементи ${\displaystyle L_{ii}}$ суть індуктивності i-тих контурів, а недіагональні елементи ${\displaystyle L_{ij}}$, де ${\displaystyle i\neq j}$ мають назву коефіцієнтів взаємної індукції. Коефіцієнти взаємної індукції симетричні відносно перестановки індексів

${\displaystyle L_{ij}=L_{ji}\,}$.

Це твердження носить назву теореми взаємності.

Таблиця індуктивностей

Символ ${\displaystyle \mu _{0}}$ позначає магнітну сталу (${\displaystyle 4\pi \cdot 10^{-7}}$ Гн/м). У високочастотному випадку струм тече по поверхні провідників (скін-ефект) і, залежно від виду провідників, іноді треба розрізняти індуктивність високої та низької частоти. Для цього служить стала Y: Y = 0 коли струм рівномірно розподілений по поверхні проводу (скін-ефект), Y = 1⁄4 коли струм рівномірно розподілений по поперечному перерізу проводу. У разі скін-ефекту слід враховувати, що за невеликих відстаней між провідниками в поверхнях течуть додаткові вихрові струми (ефект екранування), і вирази, що містять Y, стають неточними.

Коефіцієнти самоіндукції деяких замкнутих контурів

Вид	Індуктивність	Коментар
Соленоїд з тонкою обмоткою	${\displaystyle {\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}}{3l}}\left[-8w+4{\frac {\sqrt {1+m}}{m}}\left(K\left({\sqrt {\frac {m}{1+m}}}\right)-\left(1-m\right)E\left({\sqrt {\frac {m}{1+m}}}\right)\right)\right]}$${\displaystyle ={\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}\pi }{l}}\left[1-{\frac {8w}{3\pi }}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(2n\right)!^{2}}{n!^{4}\left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^{2n}}}\left(-1\right)^{n+1}w^{2n}\right]}$ ${\displaystyle ={\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}\pi }{l}}\left(1-{\frac {8w}{3\pi }}+{\frac {w^{2}}{2}}-{\frac {w^{4}}{4}}+{\frac {5w^{6}}{16}}-{\frac {35w^{8}}{64}}+...\right)}$ для ${\displaystyle w\ll 1}$ ${\displaystyle =\mu _{0}rN^{2}\left[\left(1+{\frac {1}{32w^{2}}}+O\left({\frac {1}{w^{4}}}\right)\right)\ln(8w)-1/2+{\frac {1}{128w^{2}}}+O\left({\frac {1}{w^{4}}}\right)\right]}$ для ${\displaystyle w\gg 1}$	N − кількість витківr − радіусl − довжина w = r/l m = 4w ^2 E, K − еліптичний інтеграл
Коаксіальний кабель, висока частота	${\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\ln \left({\frac {a_{1}}{a}}\right)}$	a1 − радіус a − радіус l − довжина
Одиничний круглий виток	${\displaystyle \mu _{0}r\cdot \left(\ln \left({\frac {8r}{a}}\right)-2+Y+O\left(a^{2}/r^{2}\right)\right)}$	r − радіус витка a − радіус дроту
Прямокутник	${\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{\pi }}\left(b\ln \left({\frac {2b}{a}}\right)+d\ln \left({\frac {2d}{a}}\right)-\left(b+d\right)\left(2-Y\right)+2{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \;\;-{\frac {\mu _{0}}{\pi }}\left(b\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {b}{d}}\right)+d\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {d}{b}}\right)+O\left(a\right)\right)}$	b, d − довжина країв d >> a, b >> a a − радіус проводу
Два паралельні провідники	${\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\left(\ln \left({\frac {d}{a}}\right)+Y\right)}$	a − радіус проводу d − відстань, d ≥ 2a l − довжина пари
Два паралельні провідники, висока частота	${\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)={\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\ln \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)}$	a − радіус проводу d − відстань, d ≥ 2a l − довжина пари
Провідник, паралельний до ідеально провідної стіни	${\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\left(\ln \left({\frac {2d}{a}}\right)+Y\right)}$	a − радіус провідника d − відстань, d ≥ a l − довжина
Провідник, паралельний до стіни, висока частота	${\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)={\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\ln \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)}$	a − радіус провідника d − відстань, d ≥ a l − довжина

Див. також

• Котушка індуктивності
• Індуктивний елемент
• Паразитна індуктивність
• Закон електромагнітної індукції Фарадея
• Кінетична індуктивність

Примітки

1. Щоправда, цей випадок, у принципі, виходить за межі квазистаціонарного наближення, що дозволяє розглядати елементи схеми як незалежні, тобто поняття індуктивності окремого елемента кола починає втрачати чіткий сенс; однак його у всякому разі можна використати хоча б для оцінного розрахунку.
2. Насамперед використання таких пристроїв, що ґрунтуються не на електромагнітній індукції, обумовлене необхідністю або бажаністю мати менший розмір елемента, ніж це можливо для котушки індуктивності; наприклад — у мікросхемах, а також для елементів дуже великої індуктивності.
3. Генри (единица индуктивности) // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / главн. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.)
4. Индуктивность // . — Алмати : Қазақ энциклопедиясы, 2005. — Т. II. — . (рос.)
5. Glenn Elert (1998–2008). The Physics Hypertextbook: Inductance. Архів оригіналу за 19 листопада 2012.
6. Michael W. Davidson (1995–2008). Molecular Expressions: Electricity and Magnetism Introduction: Inductance. Архів оригіналу за 19 листопада 2012.
7. Генри Джозеф // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / главн. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.)
8. Heaviside, O. Electrician. Feb. 12, 1886, p. 271. См. репринт [ 16 лютого 2022 у Wayback Machine.].
9. Присутність магнетика особливо важлива для котушок із феромагнітним осердям тощо.
10. Якщо контур багатовитковий (котушка) або взагалі складної форми, поверхня, краєм якої він буде, може мати досить складну форму. Це ніяк не позначається на більшості загальних тверджень, однак для спрощення конкретного розуміння ситуації та кількісних оцінок у разі котушки зазвичай приблизно розглядають цю поверхню як сукупність («стопку») окремих листків, кожен з яких прив'язаний до окремого одиничного витка, а загальний потік через таку поверхню розглядається приблизно як сума потоків через усі такі листки.
11. Тут мають на увазі справжню індуктивність; в електроніці можна створити штучно елементи (не засновані на явищі самоіндукції), залежність ЕРС у яких від похідної струму буде такою самою, як у котушці індуктивності, але з коефіцієнтом протилежного знака — такі елементи можна умовно назвати (за їхньою поведінкою в електричному колі) елементами з від'ємною індуктивністю, проте вони не стосуються до предмета цієї статті.
12. Якщо вважати структуру струмів (точно або приблизно) фіксованою, тобто якщо струми не перерозподіляються за об'ємом провідника в процесі їх збудження.
13. Потокосцепление // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / главн. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.)
14. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М. — Т. III. Электричество.
15. Як і в інших випадках, присутність магнетика, особливо якщо це феромагнетик, у якого завжди наявний гістерезис, призводить до більш-менш істотної нелінійності (особливо великої для магнітножорстких матеріалів осердя); тому формулу для індуктивності, що передбачає саме лінійне наближення, слід вважати наближеною, а в загальному випадку як магнітна проникність у формулу входить деяка ефективна величина, що залежить від величини струму в котушці.
16. Физическая энциклопедия, Главный редактор А. М. Прохоров. Индуктивность // Физический энциклопедический словарь. — Советская энциклопедия. — М., 1983.
17. Lorenz, L. Über die Fortpflanzung der Elektrizität // Annalen der Physik. — 1879. — Т. VII (22 червня). — С. 161—193. (The expression given is the inductance of a cylinder with a current around its surface)..
18. Elliott, R. S. Electromagnetics. — New York : Institute of Electrical and Electronics Engineers, 1993. Зауваження: Стала −3/2 неправильна.
19. Rosa, E.B. The Self and Mutual Inductances of Linear Conductors // Bulletin of the Bureau of Standards : journal. — 1908. — Vol. 4, no. 2 (22 June). — P. 301—344.
20. . Архів оригіналу за 17 лютого 2020. Процитовано 16 лютого 2022.

Література

• Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2004. — Т. 1 : А — К. — 640 с. — .