Кубічна інтерполяція

Кубічна інтерполяція — інтерполяція фукнції однієї змінної поліномом третього степеня.

Лінійна інтерполяція

Лінійна інтерполяція — це інтерполяція за допомогою двох найближчих значень. Значення ${\displaystyle ~z(x)}$ в точці ${\displaystyle ~x}$, можна отримати за допомогою рівняння:

${\displaystyle ~z(x)=(1-x)z_{0}+xz_{1}}$

де ${\displaystyle z_{0},z_{1}}$ — значення функції в початковій та кінцевій точці, відповідно.

Кубічна інтерполяція

Якщо задано ${\displaystyle z_{0},z_{1},z_{0}^{\prime },z_{1}^{\prime }}$ — значення функції та її похідної в початковій та кінцевій точці, то інтерполяція реалізується кубічними многочленами Ерміта.

Розглянемо варіант, коли значення похідної не доступне, а використовуються 2 додаткові точки регулярної сітки(по одній зліва та справа від інтервалу інтерполяції):

${\displaystyle ~z(x)=w_{-1}(x)z_{-1}+w_{0}(x)z_{0}+w_{1}(x)z_{1}+w_{2}(x)z_{2}}$

де ${\displaystyle w_{-1}(x),w_{0}(x),w_{1}(x),w_{2}(x)}$ — поліноми третього степеня.

Інтерполяція Кея

${\displaystyle ~w_{-1}(x)=\left(-{1 \over 2}+\left(1-{x \over 2}\right)x\right)x}$

${\displaystyle ~w_{0}(x)=1+\left(-{5 \over 2}+{3 \over 2}x\right)x^{2}}$

${\displaystyle ~w_{1}(x)=\left({1 \over 2}+\left(2-{3 \over 2}x\right)x\right)x}$

${\displaystyle ~w_{2}(x)=\left(-{1 \over 2}+{x \over 2}\right)x^{2}}$

Інтерполяція Шаума

${\displaystyle ~w_{-1}(x)=-{1 \over 6}x(x-1)(x-2)}$

${\displaystyle ~w_{0}(x)={1 \over 2}(x^{2}-1)(x-2)}$

${\displaystyle ~w_{1}(x)=-{1 \over 2}x(x+1)(x-2)}$

${\displaystyle ~w_{2}(x)={1 \over 6}x(x^{2}-1)}$