Збіжність за розподілом в теорії ймовірностей — вид збіжності випадкових величин.
Визначення
Нехай дано ймовірнісний простір і на ньому визначені випадкові величини . Кожна випадкова величина індукує ймовірнісну міру на , що називається розподілом.
Випадкові величини збігаються за розподілом до випадкової величини , якщо розподіли слабко збігаються до розподілу , тобто
для будь-якої борелевої функції .
Зауваження
- Користуючись теоремою про заміну міри в інтегралі Лебега, остання рівність може бути переписана так:
- .
- Границя за розподілом не єдина. Якщо розподіли двох випадкових величин ідентичні, то вони або обидва є границею за розподілом послідовності випадкових величин або обидва не є.
Властивості збіжності за розподілом
- Випадкові величини збігаються за розподілом до , якщо їх функції розподілу збігаються до функції розподілу границі у всіх точках неперервності останньої:
- .
- Якщо всі випадкові величини в означенні дискретні, то тоді і тільки тоді, коли є збіжність функцій імовірності:
- .
- Якщо всі випадкові величини в означенні абсолютно неперервні, і їх щільності збігаються:
- майже скрізь, то . Обернене, взагалі кажучи, невірно!
- Зі збіжності за ймовірністю (а, отже, і збіжності майже скрізь і в ) випливає збіжність за розподілом:
- .
Обернене, взагалі кажучи, невірно.
Див. також
Література
- Карташов М.В. - Київ, ВПЦ Київський університет, 2007.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Zbizhnist za rozpodilom v teoriyi jmovirnostej vid zbizhnosti vipadkovih velichin ViznachennyaNehaj dano jmovirnisnij prostir W F P displaystyle Omega mathcal F mathbb P i na nomu viznacheni vipadkovi velichini X X n W R m n 1 2 displaystyle X X n Omega to mathbb R m n 1 2 ldots Kozhna vipadkova velichina indukuye jmovirnisnu miru na R m displaystyle mathbb R m sho nazivayetsya rozpodilom Vipadkovi velichini X n displaystyle X n zbigayutsya za rozpodilom do vipadkovoyi velichini X displaystyle X yaksho rozpodili P X n displaystyle mathbb P X n slabko zbigayutsya do rozpodilu P X displaystyle mathbb P X tobto lim n R m f x P X n d x R m f x P X d x displaystyle lim limits n to infty int limits mathbb R m f x mathbb P X n dx int limits mathbb R m f x mathbb P X dx dlya bud yakoyi borelevoyi funkciyi f R m R displaystyle f mathbb R m to mathbb R ZauvazhennyaKoristuyuchis teoremoyu pro zaminu miri v integrali Lebega ostannya rivnist mozhe buti perepisana tak lim n E f X n E f X displaystyle lim limits n to infty mathbb E f X n mathbb E f X Granicya za rozpodilom ne yedina Yaksho rozpodili dvoh vipadkovih velichin identichni to voni abo obidva ye graniceyu za rozpodilom poslidovnosti vipadkovih velichin abo obidva ne ye Vlastivosti zbizhnosti za rozpodilomVipadkovi velichini X n displaystyle X n zbigayutsya za rozpodilom do X displaystyle X yaksho yih funkciyi rozpodilu F X n displaystyle F X n zbigayutsya do funkciyi rozpodilu granici F X displaystyle F X u vsih tochkah neperervnosti ostannoyi F X C x lim n F X n x F X x displaystyle F X in C x Rightarrow lim limits n to infty F X n x F X x Yaksho vsi vipadkovi velichini v oznachenni diskretni to X n D X displaystyle X n to mathcal D X todi i tilki todi koli ye zbizhnist funkcij imovirnosti lim n p X n x p X x displaystyle lim limits n to infty p X n x p X x Yaksho vsi vipadkovi velichini v oznachenni absolyutno neperervni i yih shilnosti zbigayutsya lim n f X n x f X x displaystyle lim limits n to infty f X n x to f X x majzhe skriz to X n D X displaystyle X n to mathcal D X Obernene vzagali kazhuchi nevirno Zi zbizhnosti za jmovirnistyu a otzhe i zbizhnosti majzhe skriz i v L p displaystyle L p viplivaye zbizhnist za rozpodilom X n P X X n D X displaystyle X n to mathbb P X Rightarrow X n to mathcal D X Obernene vzagali kazhuchi nevirno Div takozhTeorema SluckogoLiteraturaKartashov M V Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007