Теорема Больцано — Веєрштрасса

Теоре́ма Больцано — Веєрштра́сса — твердження в математичному аналізі, згідно з яким, із будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

Історія

Ця теорема доведена в 1817 році чеським математиком Бернардом Больцано (1781–1848), на півстоліття пізніше була незалежно отримана Карлом Веєрштрассом (1815–1897).

Узагальнення в топології

Про узагальнення цієї теореми в топології. Нехай ${\displaystyle (X,\mathrm {T} )}$ — топологічний простір, ${\displaystyle A}$ — підмножина ${\displaystyle X}$. Тоді:

• Якщо ${\displaystyle A}$ — (компакт), то для будь-якої послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ з ${\displaystyle A}$ будь-яка гранична точка цієї послідовності також належить ${\displaystyle A}$.
• І навпаки, якщо для кожної послідовності з підмножини гранична точка належить множині, і окрім цього ${\displaystyle (X,\mathrm {T} )}$ задовільняє другу аксіому зліченності, то ${\displaystyle A}$ є компактною підмножиною.

Зокрема якщо ${\displaystyle (X,\mathrm {T} )}$ задовільняє другу аксіому зліченності, то ${\displaystyle A}$ буде компактною тоді і лише тоді коли для кожної послідовності з ${\displaystyle A}$ гранична точка належить їй.

Класична теорема

Нехай ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — будь-яка обмежена послідовність дійсних чисел, тобто

${\displaystyle {\bigl (}\exists a\in \mathbb {R} {\bigr )}{\bigl (}\exists b\in \mathbb {R} {\bigr )}{\bigl (}\forall n\in \mathbb {N} {\bigr )}\{a\leqslant x_{n}\leqslant b\}}$

З неї завжди можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення

Розділимо відрізок ${\displaystyle [a,b]}$ точкою ${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$ навпіл. Тоді хоча б один із відрізків

${\displaystyle \left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]}$ чи ${\displaystyle \left[{\frac {a+b}{2}},b\right]}$ —

містить нескінченну кількість членів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$. Позначимо такий відрізок ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$. Аналогічно утворимо відрізки

${\displaystyle \left[a_{1},{\frac {a_{1}+b_{1}}{2}}\right]}$ та ${\displaystyle \left[{\frac {a_{1}+b_{1}}{2}},b_{1}\right]}$,

хоча б один з яких теж містить нескінченну кількість членів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$.

Позначимо його ${\displaystyle [a_{2},b_{2}]}$ . Продовжуючи описаний процес, отримуємо послідовність вкладених відрізків

${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset [a_{3},b_{3}]\supset [a_{4},b_{4}]\supset \ldots [a_{k},b_{k}]\supset \ldots }$ ,

довжина яких

${\displaystyle d_{k}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ b_{k}-a_{k}={\frac {b-a}{2^{k}}}}$.

Оскільки

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }d_{k}=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {b-a}{2^{k}}}=0}$,

то, згідно з теоремою про принцип вкладених відрізків

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{k}=\lim _{k\to \infty }b_{k}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ c}$,

Виберемо послідовність ${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}}$ так. Нехай ${\displaystyle x_{n_{1}}}$ — будь-який із членів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, що належить відрізку ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$;

${\displaystyle x_{n_{2}}}$ — будь-який із членів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, що належить відрізку ${\displaystyle [a_{2},b_{2}]}$ і такий, що ${\displaystyle n_{2}>n_{1}}$.

Такий член завжди існує, оскільки відрізок ${\displaystyle [a_{2},b_{2}]}$ містить нескінченно багато членів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$.

І взагалі, ${\displaystyle x_{n_{k}}}$ — будь-який із членів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, що належить відрізку ${\displaystyle [a_{k},b_{k}]}$ і такий, що ${\displaystyle n_{k}>n_{k-1}}$.

Продовжуючи описаний процес, отримуємо послідовність ${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}}$, причому

${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{k}<\ldots }$

і виконують нерівності

${\displaystyle a_{k}\leqslant x_{n_{k}}\leqslant b_{k}}$

Враховуючи, згідно з теоремою про три послідовності, маємо

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=c}$.

Наслідок

З будь-якої послідовності дійсних чисел можна виділити підпослідовність, збіжну в ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$.

Доведення

Нехай ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — довільна послідовність. Якщо ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — обмежена, то за теоремою Больцано — Веєрштрасса з неї можна виділити збіжну підпослідовність.

Якщо ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — необмежена зверху, то

${\displaystyle {\bigl (}\forall k\in \mathbb {N} {\bigr )}{\bigl (}\exists n_{k}\in \mathbb {N} {\bigr )}\{x_{n_{k}}>k\}}$.

Доведемо, що

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=+\infty }$ .

Справді, оскільки

${\displaystyle {\bigl (}\forall M\in \mathbb {R} {\bigr )}{\bigl (}\exists K\in \mathbb {N} {\bigr )}\{K>M\}}$,

то

${\displaystyle {\bigl (}\forall M\in \mathbb {R} {\bigr )}{\bigl (}\exists K\in \mathbb {N} {\bigr )}{\bigl (}\forall k>K{\bigr )}\{x_{n_{k}}>M\}}$,

що й означає виконання співвідношення.

Див. також

• Верхня границя послідовності
• Нижня границя послідовності
• Фундаментальна послідовність
• Три послідовності
• Послідовність вкладених відрізків

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
• Вища математика — 2. Навчальний посібник для студентів технічних напрямків підготовки / Укладач: В. В. Бакун. — К.: НТУУ «КПІ», 2013. — 270 с.
• Л. Д. Кудрявцев, Теорема Больцано — Вейерштрасса // Математическая энциклопедия. Том 1, онлайн (англ.): Bolzano-Weierstrass theorem // Encyclopedia of Mathematics

Джерела

1. The Bolzano–Weierstrass theorem ... was actually first proved by Bolzano in 1817 as a lemma in the proof of the intermediate value theorem: Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, das zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege (Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation) / Bernard Bolzano, gedruckt bei Gottlieb Haase, 1817. – 60 S.
2. Bolzano В., «Abhandl. Böhmischen Ges. Wiss.», 1817 / Л. Д. Кудрявцев // Математическая энциклопедия. Том 1 (А – Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.
3. Заболоцький, М.В.; Сторож, О.Г.; Тарасюк, С.І. (2008). Математичний аналіз (укр) . Київ: "Знання". ISBN .
4. Заболоцький, М.В.; Фединяк, С.І.; Філевич, П.В. (2005). Практикум з математичного аналізу (укр) . Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. с. 80.