Матриці Гелл-Мана

Матриці Ґелл-Мана — одне з представлень інфінітезимальних генераторів спеціальної унітарної групи SU(3). Вони використовуються в квантовій хромодинаміці і є узагальненням матриць Паулі.

Всього існує 8 лінійно незалежних матриць 3x3 із одиничним визначником. Їх можна вибрати в наступному вигляді

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}}$

Це ермітові матриці. Слід усіх матриць ${\displaystyle \lambda _{i}}$ дорівнює нулю.

${\displaystyle {\text{Sp}}\;\lambda _{j}=0}$.

Крім того

${\displaystyle {\text{Sp}}\;\lambda _{i}\lambda _{j}=2\delta _{ij}}$,

де ${\displaystyle \delta _{i}j}$ — символ Кронекера.

Матриці ${\displaystyle g_{i}}$ визначаються як

${\displaystyle g_{i}={\frac {1}{2}}\lambda _{i}}$.

Комутатори цих матриць задовольняють співвідношення

${\displaystyle [g_{i},g_{j}]=if^{ijk}g_{k}}$,

де повторення індексу k означає підсумовування, а ${\displaystyle f^{ijk}}$ — повністю антисиметричний за трьома індексами і має значення:

${\displaystyle f^{123}=1\ ,\quad f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\frac {1}{2}}\ ,\quad f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ .}$

Будь-який елемент групи SU(3) може бути записаним у формі:

${\displaystyle x=e^{i\sum _{k}\theta _{k}g_{k}}}$,

де ${\displaystyle \theta _{k}}$ — дійсні числа. Саме ця властивість означає, що матриці ${\displaystyle \lambda _{i}}$, а з ними і ${\displaystyle g_{i}}$ є генераторами групи.

Джерела

• Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979