Матриця Сильвестра

В математиці, матрицею Сильвестра називають матрицю елементами якої є нулі, а також певним чином розмішені коефіцієнти двох многочленів.

Означення

Нехай p і q два многочлени, степенів m і n. Візьмемо:

${\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.}$

Матрицею Сильвестра для многочленів p і q є матриця розмірності ${\displaystyle (n+m)\times (n+m)}$ одержана таким чином:

• елементами першого рядка є:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• другий рядок одержується з першого переміщенням елементів на одну позицію вправо; перший елемент рядка рівний нулю.
• наступні (n-2) рядків одержуються подібним чином.
• (n+1)-ий рядок має вигляд:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• Наступні рядки формуються у вже згаданий спосіб.

Наприклад якщо m=4 і n=3, одержуємо наступну матрицю:

${\displaystyle S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.}$

Визначник матриці Сильвестра

Теорема Визначник матриці Сильвестра многочленів p і q рівний результанту цих многочленів, де результант визначається як:

${\displaystyle \mathrm {res} (p,q)=p_{m}^{n}q_{n}^{m}\prod _{1\leqslant i\leqslant m,\,1\leqslant j\leqslant n}(\beta _{j}-\alpha _{i}),\,}$ де ${\displaystyle \alpha _{j}}$ — корені многочлена p в алгебраїчному замиканні поля, а ${\displaystyle \beta _{j}}$ — корені многочлена q в алгебраїчному замиканні поля.

Доведення

Розглянемо систему рівнянь

${\displaystyle x^{m-1}p(x)=0\,}$

${\displaystyle x^{m-2}p(x)=0\,}$

${\displaystyle \ldots \,}$

${\displaystyle p(x)=0\,}$

${\displaystyle x^{n-1}q(x)=0\,}$

${\displaystyle x^{n-2}q(x)=0\,}$

${\displaystyle \ldots \,}$

${\displaystyle q(x)=0\,}$

Дана система є системою n+m лінійних рівнянь щодо ${\displaystyle x^{m+n-1},x^{m+n-2},\ldots ,1\,}$ матрицею яких є матриця Сильвестра. Очевидно, якщо многочлени p і q мають спільний корінь то визначник матриці Сильвестра рівний нулю. Далі оскільки визначник є многочленом від коефіцієнтів многочленів p і q він є також многочленом від їх коренів. Якщо хоч для однієї з n•m пар виконується:

${\displaystyle \alpha _{i}-\beta _{j}=0\quad 1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\,}$

то визначник дорівнюватиме нулю, а значить, як многочлен від коренів многочленів він повинен ділитися на добуток цих різниць, тобто результант є дільником визначника Сильвестра, як многочлен від ${\displaystyle \alpha _{i},\beta _{j}.\,}$ Проте розписуючи коефіцієнти многочлена через його корені і підставляючи в формулу визначника бачимо, що степінь ${\displaystyle \beta _{j}}$ не може бути більшою ніж m, а степінь ${\displaystyle \alpha _{i}\,}$ не може бути більшою ніж n; також не важко бачити, що, наприклад, коефіцієнти біля ${\displaystyle \beta _{j}^{m}\,}$ в результанта і визначника Сильвестра збігаються і дорівнюють ${\displaystyle p_{m}^{n}q_{n}^{m}\prod _{i=1}^{m}\alpha _{i}^{n-1}\,}$ Звідси і випливає рівність результанта і визначника Сильвестра.

Застосування

Розвязки лінійних рівнянь

${\displaystyle {S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

де ${\displaystyle x}$ є вектором розмірності ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle y}$ вектор розмірності ${\displaystyle m}$, є векторами коефіцієнтів єдиних поліномів ${\displaystyle x,y}$ (степенів ${\displaystyle n-1}$ і ${\displaystyle m-1}$, відповідно) що задовольняють рівність

${\displaystyle x\cdot p+y\cdot q=0}$

(в даному рівнянні добуток і сума здійснюються для поліномів). Відповідно ядро транспонованої матриці Сильвестра дає всі розв'язки рівняння Безу ${\displaystyle \deg x<\deg q}$ and ${\displaystyle \deg y<\deg p}$.

Як наслідок ранг матриці Сильвестра визначає степінь найбільшого спільного дільника многочленів p і q.

${\displaystyle \deg(\gcd(p,q))=m+n-\mathrm {rank} ~S_{p,q}}$м

Джерела

• , . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Eric W. Weisstein, Sylvester Matrix [ 21 серпня 2009 у Wayback Machine.] на сайті MathWorld