Алгебри́чна зв'я́зність графа — це друге з найменших власних значень матриці Кірхгофа графа . Це значення більше від нуля тоді й лише тоді, коли G є зв'язним. Це наслідок того, що скільки разів значення 0 з'являється як власне значення матриці Кірхгофа, зі стількох компонент зв'язності й складається граф. Величина цього значення показує наскільки добре зв'язаний весь граф і використовується для аналізу стійкості та синхронізації мереж.
Властивості
Алгебрична зв'язність графа більша від 0 тоді й лише тоді, коли є зв'язним. Більш того, значення алгебричної зв'язності обмежене зверху звичайною (вершинною) зв'язністю графа. Якщо число вершин зв'язного графа дорівнює , а діаметр дорівнює , алгебрична зв'язність, як відомо, обмежена знизу числом , і фактично, як показав [en], значенням . Для прикладу, наведеного вище, 4/18 = 0,222 ≤ 0,722 ≤ 1, але для багатьох великих графів алгебрична зв'язність значно ближча до нижньої межі, ніж до верхньої[].
На відміну від звичайної зв'язності, алгебрична зв'язність залежить як від числа вершин, так і від способу їх з'єднання. У випадкових графах алгебрична зв'язність зменшується зі зростанням числа вершин і збільшується зі зростанням середнього степеня.
Точне визначення алгебричної зв'язності залежить від типу використовуваної матриці Кірхгофа. [en] розробила велику теорію, в якій використано нормовані матриці Кірхгофа, що позбавляє значення від числа вершин, так що межі стають дещо іншими.
У моделях синхронізації в мережах, таких як [en], матриця Кірхгофа виникає природно, так що алгебрична зв'язність показує, наскільки просто мережа буде синхронізуватися. Однак можна використати й інші показники, такі як середня відстань (характеристика довжини шляху), і фактично алгебрична відстань тісно пов'язана з середньою відстанню (точніше, оберненою до неї величиною).
Алгебрична зв'язність також пов'язана з іншими характеристиками зв'язності, такими як ізопериметричне число, яке обмежене знизу половиною алгебричної зв'язності.
Вектор Фідлера
Спочатку теорію, пов'язану з алгебричною зв'язністю, розробив чеський математик [en]. На його честь власний вектор, що відповідає алгебричній зв'язності, названо вектором Фідлера. Вектор Фідлера можна використати для розбиття графа.
Для графа зі вступного розділу вектором Фідлера буде <0,415; 0,309; 0,069; −0,221; 0,221; −0,794>. Від'ємні значення відповідають погано зв'язаній вершині 6 і сусідній точці зчленування, вершині 4, а додатні значення відповідають решті вершин. Таким чином, знак елементів вектора Фідлера можна використати для розбиття графа на дві компоненти — {1, 2, 3, 5} і {4, 6}. Або можна значення 0,069 (розташоване ближче до нуля) помістити у свій власний клас, розбивши граф на три компоненти — {1, 2, 5}, {3} і {4, 6}.
Див. також
Примітки
- Gross, Yellen, 2004, стр. 314.
- Gross, Yellen, 2004, стр. 571.
- Mohar, 1991 стр. 871—898.
- Synchronization and Connectivity of Discrete Complex Systems [ 2015-09-23 у Wayback Machine.], Michael Holroyd, International Conference on Complex Systems, 2006.
- Chung, 1997.
- Tiago Pereira, Stability of Synchronized Motion in Complex Networks Архівна копія на сайті Wayback Machine.,arXiv:1112.2297v1, 2011.
- Watts, 2003.
- Biggs, 1993, стр. 28, 58.
- Fiedler, 1973.
- Fiedler, 1989.
Література
- J.L. Gross,. Yellen. Handbook of Graph Theory. — CRC Press, 2004.
- F. Chung. Spectral Graph Theory. — Providence : RI: Amer. Math. Soc, 1997. — Т. 19. — (Math. Surv. & Monogr.)
- D. Watts. Six Degrees: The Science of a Connected Age. — New York, London : W.W. Norton & company, 2003.
- Norman Biggs. Algebraic Graph Theory. — 2nd. — Cambridge University Press, 1993. — Т. 67. — (Cambridge Tracts in Mathematics) — .
- M. Fiedler. Algebraic connectivity of Graphs // Czechoslovak Mathematical Journal. — 1973. — Вип. 23 (98).
- M. Fiedler. Laplacian of graphs and algebraic connectivity // Combinatorics and Graph Theory. — 1989. — Вип. 23.
- Bojan Mohar. The Laplacian Spectrum of Graphs. — Graph Theory, Combinatorics, and Applications. — New York : Wiley, 1991. — Т. 2.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Algebri chna zv ya znist grafa G displaystyle G ce druge z najmenshih vlasnih znachen matrici Kirhgofa grafa G displaystyle G Ce znachennya bilshe vid nulya todi j lishe todi koli G ye zv yaznim Ce naslidok togo sho skilki raziv znachennya 0 z yavlyayetsya yak vlasne znachennya matrici Kirhgofa zi stilkoh komponent zv yaznosti j skladayetsya graf Velichina cogo znachennya pokazuye naskilki dobre zv yazanij ves graf i vikoristovuyetsya dlya analizu stijkosti ta sinhronizaciyi merezh Priklad grafa z 6 vershinami sho maye diametr 3 zv yaznist 1 i algebrichnu zv yaznist 0 722VlastivostiZrizanij ikosaedr abo graf fuleritu maye zvichajnu zv yaznist 3 i algebrichnu zv yaznist 0 243 Algebrichna zv yaznist grafa G displaystyle G bilsha vid 0 todi j lishe todi koli G displaystyle G ye zv yaznim Bilsh togo znachennya algebrichnoyi zv yaznosti obmezhene zverhu zvichajnoyu vershinnoyu zv yaznistyu grafa Yaksho chislo vershin zv yaznogo grafa dorivnyuye n displaystyle n a diametr dorivnyuye D displaystyle D algebrichna zv yaznist yak vidomo obmezhena znizu chislom 1nD displaystyle frac 1 nD i faktichno yak pokazav en znachennyam 4nD displaystyle frac 4 nD Dlya prikladu navedenogo vishe 4 18 0 222 0 722 1 ale dlya bagatoh velikih grafiv algebrichna zv yaznist znachno blizhcha do nizhnoyi mezhi nizh do verhnoyi dzherelo Na vidminu vid zvichajnoyi zv yaznosti algebrichna zv yaznist zalezhit yak vid chisla vershin tak i vid sposobu yih z yednannya U vipadkovih grafah algebrichna zv yaznist zmenshuyetsya zi zrostannyam chisla vershin i zbilshuyetsya zi zrostannyam serednogo stepenya Tochne viznachennya algebrichnoyi zv yaznosti zalezhit vid tipu vikoristovuvanoyi matrici Kirhgofa en rozrobila veliku teoriyu v yakij vikoristano normovani matrici Kirhgofa sho pozbavlyaye znachennya vid chisla vershin tak sho mezhi stayut desho inshimi U modelyah sinhronizaciyi v merezhah takih yak en matricya Kirhgofa vinikaye prirodno tak sho algebrichna zv yaznist pokazuye naskilki prosto merezha bude sinhronizuvatisya Odnak mozhna vikoristati j inshi pokazniki taki yak serednya vidstan harakteristika dovzhini shlyahu i faktichno algebrichna vidstan tisno pov yazana z serednoyu vidstannyu tochnishe obernenoyu do neyi velichinoyu Algebrichna zv yaznist takozh pov yazana z inshimi harakteristikami zv yaznosti takimi yak izoperimetrichne chislo yake obmezhene znizu polovinoyu algebrichnoyi zv yaznosti Vektor FidleraSpochatku teoriyu pov yazanu z algebrichnoyu zv yaznistyu rozrobiv cheskij matematik en Na jogo chest vlasnij vektor sho vidpovidaye algebrichnij zv yaznosti nazvano vektorom Fidlera Vektor Fidlera mozhna vikoristati dlya rozbittya grafa Dlya grafa zi vstupnogo rozdilu vektorom Fidlera bude lt 0 415 0 309 0 069 0 221 0 221 0 794 gt Vid yemni znachennya vidpovidayut pogano zv yazanij vershini 6 i susidnij tochci zchlenuvannya vershini 4 a dodatni znachennya vidpovidayut reshti vershin Takim chinom znak elementiv vektora Fidlera mozhna vikoristati dlya rozbittya grafa na dvi komponenti 1 2 3 5 i 4 6 Abo mozhna znachennya 0 069 roztashovane blizhche do nulya pomistiti u svij vlasnij klas rozbivshi graf na tri komponenti 1 2 5 3 i 4 6 Div takozhZv yaznij graf Invariant grafaPrimitkiGross Yellen 2004 str 314 Gross Yellen 2004 str 571 Mohar 1991 str 871 898 Synchronization and Connectivity of Discrete Complex Systems 2015 09 23 u Wayback Machine Michael Holroyd International Conference on Complex Systems 2006 Chung 1997 Tiago Pereira Stability of Synchronized Motion in Complex Networks Arhivna kopiya na sajti Wayback Machine arXiv 1112 2297v1 2011 Watts 2003 Biggs 1993 str 28 58 Fiedler 1973 Fiedler 1989 LiteraturaJ L Gross Yellen Handbook of Graph Theory CRC Press 2004 F Chung Spectral Graph Theory Providence RI Amer Math Soc 1997 T 19 Math Surv amp Monogr D Watts Six Degrees The Science of a Connected Age New York London W W Norton amp company 2003 Norman Biggs Algebraic Graph Theory 2nd Cambridge University Press 1993 T 67 Cambridge Tracts in Mathematics ISBN 0 521 20335 X M Fiedler Algebraic connectivity of Graphs Czechoslovak Mathematical Journal 1973 Vip 23 98 M Fiedler Laplacian of graphs and algebraic connectivity Combinatorics and Graph Theory 1989 Vip 23 Bojan Mohar The Laplacian Spectrum of Graphs Graph Theory Combinatorics and Applications New York Wiley 1991 T 2