Теорема про перетин хорд

Теорема про відрізки хорд, або просто Теорема хорд - це твердження в елементарній геометрії, яке описує співвідношення чотирьох відрізків ліній, створених двома хордами, що перетинаються в колі. В теоремі доводиться, що добутки довжин відрізків ліній на кожній хорді рівні. Це 35 твердження з книги Начала Евкліда

${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|\\=&(r+d)\cdot (r-d)=r^{2}-d^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \triangle ASD\sim \triangle BSC}$

Точніше, для двох хорд AC і BD, що перетинаються в точці S, виконується така рівність:

${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$

Обернене також справедливе, тобто якщо для двох відрізків прямих AC і BD, що перетинаються в точці S, виконується наведена вище рівність, тоді їх чотири кінцеві точки A, B, C і D лежать на спільному колі. Або іншими словами, якщо діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці S і виконують наведену вище рівність, то це вписаний чотирикутник .

Значення двох добутків в теоремі хорд залежить лише від відстані точки перетину S від центру кола і називається абсолютним значенням степені S, більш того, можна стверджувати, що:

${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2}}$

де r - радіус кола, а d - відстань між центром кола і точкою перетину S. Ця властивість випливає безпосередньо із застосування теореми хорд до третьої хорди, що проходить через S і центр кола M (див. креслення).

Теорему можна довести за допомогою подібних трикутників (за допомогою теореми про вписаний кут). Розглянемо кути трикутників ASD і BSC :

${\displaystyle \angle ADS=\angle BCS\,}$ (кути, які спираються на хорду AB)

${\displaystyle \angle DAS=\angle CBS\,}$ (кути, які спираються на хорду CD)

${\displaystyle \angle ASD=\angle BSC\,}$ (вертикальні кути)

Це означає, що трикутники ASD і BSC подібні і тому

${\displaystyle {\frac {AS}{SD}}={\frac {BS}{SC}}\Leftrightarrow |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$

Поряд з теоремою про січну і дотичну і теоремою про дві січні, теорема про хорди, що перетинаються представляє один з трьох основних випадків більш загальної теореми про дві прямі і коло, що перетинаються - теореми про степінь точки

Список літератури

• Paul Glaister: Intersecting Chords Theorem: 30 Years on. Mathematics in School, Vol. 36, No. 1 (Jan., 2007), p. 22 (JSTOR [ 14 березня 2017 у Wayback Machine.])
• Bruce Shawyer: Explorations in Geometry. World scientific, 2010, , p. 14 [ 21 січня 2021 у Wayback Machine.]
• Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, , p. 149 (German).
• Schülerduden - Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, , pp. 415-417 (German)

Зовнішні посилання

• Intersecting Chords Theorem [ 31 грудня 2020 у Wayback Machine.] at cut-the-knot.org
• Intersecting Chords Theorem at proofwiki.org
• Two interactive illustrations: [1] [ 21 січня 2021 у Wayback Machine.] and [2] [ 21 січня 2021 у Wayback Machine.]