У математиці сталою Чіґера (також числом Чіґера або ізопериметричним числом) графа називають числову характеристику графа, яка показує, має граф «вузьке місце» чи ні. Константа Чигера як спосіб вимірювання наявності «вузького місця» становить інтерес у багатьох галузях, наприклад, для створення сильно зв'язаних комп'ютерних мереж, для тасування карт і в топології малих розмірностей (зокрема, при вивченні гіперболічних 3-вимірних многовидів). Названа на честь математика Джефа Чіґера.
Визначення
Нехай — ненапрямлений граф із множиною вершин та дуг . Нехай для набору вершин означає набір всіх дуг, що з'єднують вершини набору з вершинами, які не належать :
Нагадаємо, що дуги не напрямлені, тож дуга — це та сама дуга, що й .
Тоді стала Чіґера графа (позначається ) визначається як
Стала Чіґера строго додатна тоді й лише тоді, коли граф зв'язний. Інтуїтивно зрозуміло, що якщо стала Чіґера мала, але додатна, граф має «вузьке місце» в тому сенсі, що є дві «великі» множини вершин з «невеликим» числом зв'язків (дуг) між ними. Стала Чіґера «велика», якщо будь-який поділ множини вершин на дві підмножини залишає «багато» зв'язків між цими підмножинами.
Приклад: комп'ютерна мережа
Уявімо, що необхідно розробити мережеву конфігурацію, в якій стала Чіґера велика (принаймні, істотно відрізняється від нуля), навіть якщо (число комп'ютерів у мережі) велике.
Наприклад, є комп'ютерів, об'єднаних у кільце, утворюючи граф . Пронумеруємо комп'ютери числами 1, 2, …, N у кільці за годинниковою стрілкою. З математичної точки зору є граф із множиною вершин
і множина дуг
Візьмемо як множину цих комп'ютерів, що в ланцюжку:
Зрозуміло, що
так що
- при
Цей приклад показує верхню межу константи Чіґера , і вона прямує до нуля при пямуванні до нескінченності. Отже, ми можемо розглядати мережу комп'ютерів, об'єднаних у кільце, що складається зі суцільних «вузьких місць» для великих , і це зрозуміло в практичному сенсі. Варто одному комп'ютеру в кільці вийти з ладу і швидкість обміну різко впаде. При виході з ладу двох не з'єднаних між собою комп'ютерів мережа розпадеться на дві незв'язані частини.
Нерівність Чіґера
Стала Чіґера особливо важлива в контексті графів-експандерів, оскільки є мірою охоплення графа його дугами. Так звана (нерівність Чіґера) пов'язана зі спектральним зазором і містить сталу Чіґера.
Див. також
Примітки
- Lackenby, 2010, §7 The behaviour of geometric and topological invariants in finite covers, p. 13.
- Lubotzky, 2011, Глава 1. Expander graphs. 1.1 Basic definitions. P. 5.
Література
- Donetti, L., Neri, F., and Muñoz, M. Optimal network topologies: expanders, cages, Ramanujan graphs, entangled networks and all that // J. Stat. Mech. — 2006. — Т. 2006, вип. 08. — DOI: .
- Lackenby, M. Heegaard splittings, the virtually Haken conjecture and property (τ) // Invent. Math. — 2006. — Т. 164, вип. 2. — С. 317—359. — DOI: .
- Mark Lackenby. Finite covering spaces of 3-manifolds // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Hyderabad, India. — 2010.
- Alexander Lubotzky. Expander Graphs in Pure and Applied Mathematics // This paper is based on notes prepared for the Colloquium Lectures at the Joint Annual Meeting of the American Mathematical Society (AMS) and the Mathematical Association of America (MAA). — 2011.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici staloyu Chigera takozh chislom Chigera abo izoperimetrichnim chislom grafa nazivayut chislovu harakteristiku grafa yaka pokazuye maye graf vuzke misce chi ni Konstanta Chigera yak sposib vimiryuvannya nayavnosti vuzkogo miscya stanovit interes u bagatoh galuzyah napriklad dlya stvorennya silno zv yazanih komp yuternih merezh dlya tasuvannya kart i v topologiyi malih rozmirnostej zokrema pri vivchenni giperbolichnih 3 vimirnih mnogovidiv Nazvana na chest matematika Dzhefa Chigera ViznachennyaNehaj G displaystyle G nenapryamlenij graf iz mnozhinoyu vershin V G displaystyle V G ta dug E G displaystyle E G Nehaj dlya naboru vershin A V G displaystyle A subseteq V G A displaystyle partial A oznachaye nabir vsih dug sho z yednuyut vershini naboru A displaystyle A z vershinami yaki ne nalezhat A displaystyle A A x y E G x A y V G A displaystyle partial A x y in E G mid x in A y in V G setminus A Nagadayemo sho dugi ne napryamleni tozh duga x y displaystyle x y ce ta sama duga sho j y x displaystyle y x Todi stala Chigera grafa G displaystyle G poznachayetsya h G displaystyle h G viznachayetsya yak h G min A A A V G 0 lt A V G 2 displaystyle h G min left left frac partial A A right A subseteq V G 0 lt A leqslant frac V G 2 right Stala Chigera strogo dodatna todi j lishe todi koli graf G displaystyle G zv yaznij Intuyitivno zrozumilo sho yaksho stala Chigera mala ale dodatna graf maye vuzke misce v tomu sensi sho ye dvi veliki mnozhini vershin z nevelikim chislom zv yazkiv dug mizh nimi Stala Chigera velika yaksho bud yakij podil mnozhini vershin na dvi pidmnozhini zalishaye bagato zv yazkiv mizh cimi pidmnozhinami Priklad komp yuterna merezhaMerezha komp yuteriv kilce Uyavimo sho neobhidno rozrobiti merezhevu konfiguraciyu v yakij stala Chigera velika prinajmni istotno vidriznyayetsya vid nulya navit yaksho V G displaystyle V G chislo komp yuteriv u merezhi velike Napriklad ye N 3 displaystyle N geq 3 komp yuteriv ob yednanih u kilce utvoryuyuchi graf G N displaystyle G N Pronumeruyemo komp yuteri chislami 1 2 N u kilci za godinnikovoyu strilkoyu Z matematichnoyi tochki zoru ye graf iz mnozhinoyu vershin V G N 1 2 N displaystyle V G N 1 2 dots N i mnozhina dug E G N 1 2 2 3 N 1 N N 1 displaystyle E G N 1 2 2 3 dots N 1 N N 1 Vizmemo yak mnozhinu A displaystyle A N 2 displaystyle lfloor N 2 rfloor cih komp yuteriv sho v lancyuzhku A 1 2 N 2 displaystyle A 1 2 dots lfloor N 2 rfloor Zrozumilo sho A N 2 N 2 1 N 1 displaystyle partial A lfloor N 2 rfloor lfloor N 2 rfloor 1 N 1 tak sho A A 2 N 2 0 displaystyle frac partial A A frac 2 lfloor N 2 rfloor to 0 pri N displaystyle N to infty Cej priklad pokazuye verhnyu mezhu konstanti Chigera h G N displaystyle h G N i vona pryamuye do nulya pri pyamuvanni N displaystyle N do neskinchennosti Otzhe mi mozhemo rozglyadati merezhu komp yuteriv ob yednanih u kilce sho skladayetsya zi sucilnih vuzkih misc dlya velikih N displaystyle N i ce zrozumilo v praktichnomu sensi Varto odnomu komp yuteru v kilci vijti z ladu i shvidkist obminu rizko vpade Pri vihodi z ladu dvoh ne z yednanih mizh soboyu komp yuteriv merezha rozpadetsya na dvi nezv yazani chastini Nerivnist ChigeraDokladnishe Spektralna teoriya grafiv Nerivnist Chigera Stala Chigera osoblivo vazhliva v konteksti grafiv ekspanderiv oskilki ye miroyu ohoplennya grafa jogo dugami Tak zvana nerivnist Chigera pov yazana zi spektralnim zazorom i mistit stalu Chigera Div takozhStala Chigera Algebrichna zv yaznist en Providnist grafa Zv yaznij graf Zbilshuvach teoriya grafiv PrimitkiLackenby 2010 7 The behaviour of geometric and topological invariants in finite covers p 13 Lubotzky 2011 Glava 1 Expander graphs 1 1 Basic definitions P 5 LiteraturaDonetti L Neri F and Munoz M Optimal network topologies expanders cages Ramanujan graphs entangled networks and all that J Stat Mech 2006 T 2006 vip 08 DOI 10 1088 1742 5468 2006 08 P08007 Lackenby M Heegaard splittings the virtually Haken conjecture and property t Invent Math 2006 T 164 vip 2 S 317 359 DOI 10 1007 s00222 005 0480 x Mark Lackenby Finite covering spaces of 3 manifolds Proceedings of the International Congress of Mathematicians Hyderabad India 2010 Alexander Lubotzky Expander Graphs in Pure and Applied Mathematics This paper is based on notes prepared for the Colloquium Lectures at the Joint Annual Meeting of the American Mathematical Society AMS and the Mathematical Association of America MAA 2011