Диференціювання тригонометричних функцій

Знаходження похідної є найважливішою операцією у диференціальному численні.

У цій статті наведені правила диференціювання та список похідних основних функцій, яких достатньо для диференціювання будь-якої елементарної функції.

У нижчеподаних формулах

${\displaystyle x}$ — змінна,

${\displaystyle f}$ — функція цієї змінної,

${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ — довільні функції, що диференціюються,

${\displaystyle c}$ — константа.

Загальні правила

Константа

${\displaystyle \left({c\cdot f}\right)^{\prime }=c\cdot f^{\prime }}$, де ${\displaystyle c={\text{const}}\,}$

Похідна суми й різниці функцій

${\displaystyle \left({u+v}\right)'=u'+v'}$

${\displaystyle \left({u-v}\right)'=u'-v'}$

Похідна добутку й частки функцій

Докладніше: Правило добутку та Правило частки

${\displaystyle \left({u\cdot v}\right)'={u'v+uv'}}$

${\displaystyle \left({u \over v}\right)'={{u'v-uv'} \over {v^{2}}}\,,\qquad v\neq 0}$

Похідна складеної функції

Докладніше: Диференціювання складеної функції

${\displaystyle {\Big (}{u{\big (}v(x){\big )}}{\Big )}'={u_{v}'(v)\cdot v_{x}'(x)}}$

Похідна оберненої функції

Докладніше: Диференціювання оберненої функції

${\displaystyle (f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}}$

Список

Похідні простих функцій

${\displaystyle \left(c\right)'=0}$

${\displaystyle \left(x\right)'=1}$

${\displaystyle \left(cx\right)'=c}$

${\displaystyle |x|'={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0}$

${\displaystyle \left(x^{c}\right)'=cx^{c-1}}$, де ${\displaystyle \left(x^{c}\right)}$ та ${\displaystyle \left(x^{c-1}\right)}$ — визначені

Зокрема:

${\displaystyle \left({1 \over x^{c}}\right)'={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-{c \over x^{c+1}}}$

${\displaystyle \left({1 \over x}\right)'={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-{1 \over x^{2}}}$

${\displaystyle \left({\sqrt {x}}\right)'={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0}$

Похідні від показникових і логарифмічних функцій

Див. також: Показникова функція та Логарифм

${\displaystyle \left(e^{x}\right)'=e^{x}}$	${\displaystyle \left(\ln x\right)'={1 \over x}}$
${\displaystyle \left(a^{x}\right)'={a^{x}\ln a},\quad a>0}$	${\displaystyle \left(\log _{a}x\right)'={1 \over x\ln a},\quad a>0,a\neq 1}$
${\displaystyle \left(e^{ax}\right)'=ae^{ax}}$

Похідні від тригонометричних функцій

Див. також: Тригонометричні функції

Прямих	Обернених
${\displaystyle \left(\sin x\right)'=\cos x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcsin} x\right)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \left(\cos x\right)'=-\sin x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arccos} x\right)'={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \left(\operatorname {tg} x\right)'={1 \over \cos ^{2}x}}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arctg} x\right)'={1 \over 1+x^{2}}}$
${\displaystyle \left(\sec x\right)'={\sin x \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} x\sec x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcsec} x\right)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle \left(\operatorname {ctg} x\right)'={-1 \over \sin ^{2}x}}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcctg} x\right)'={-1 \over 1+x^{2}}}$
${\displaystyle \left(\operatorname {cosec} x\right)'=-{\cos x \over \sin ^{2}x}=-\operatorname {ctg} x\operatorname {cosec} x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arccosec} x\right)'={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Похідні від гіперболічних функцій

Див. також: Гіперболічні функції

Прямих	Обернених
${\displaystyle \left(\operatorname {sh} x\right)'=\operatorname {ch} x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arsh} x\right)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}$
${\displaystyle \left(\operatorname {ch} x\right)'=\operatorname {sh} x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arch} x\right)'={-1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle \left(\operatorname {th} x\right)'=\operatorname {sch} ^{2}x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arth} x\right)'={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle \left(\operatorname {sech} x\right)'=-\operatorname {th} x\,\operatorname {sech} x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arsech} x\right)'={1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \left(\operatorname {cth} x\right)'=-\operatorname {csch} ^{2}x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcth} x\right)'={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle \left(\operatorname {csch} x\right)'=-\operatorname {cth} x\,\operatorname {csch} x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcsch} x\right)'={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

Див. також

Джерела

• Таблицы интегралов и другие математические формулы / пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. . — М. : Наука, 1978. — 228 с. (рос.)
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — 13-е изд., исправленное. — М. : Наука, 1986. — 544 с. (рос.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Основні правила та формули диференціювання // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 240-242. — 594 с.