Визначникова тотожність Сильвестра

У теорії матриць, визначникова тотожність Сильвестра — це тотожність корисна для обчислення певних типів визначників. Її назвали на честь Джеймса Джозефа Сильвестра, який навів цю тотожність без доведення у 1851.

Тотожність стверджує, що якщо A і B є матрицями розмірів m × n і n × m відповідно, тоді

${\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA),\ }$

де I_a — одинична матриця порядку a.

Це визначниковий аналог матричної тотожності Вудбурі.

Доведення

Тотожність можна довести таким чином. Нехай M буде матрицею, що складається з чотирьох блоків I_m, −A, B і I_n:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}}$.

Оскільки I_m є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{m})\det(I_{n}-BI_{m}^{-1}(-A))=\det(I_{n}+BA)}$.

Оскільки I_n є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{n})\det(I_{m}-(-A)I_{n}^{-1}B)=\det(I_{m}+AB)}$.

Отже,

${\displaystyle \det(I_{n}+BA)=\det(I_{m}+AB)}$.

Примітки

1. Sylvester, James Joseph (1851). On the relation between the minor determinants of linearly equivalent quadratic functions. Philosophical Magazine. 1: 295—305.
   Процитовано в Akritas, A. G.; Akritas, E. K.; Malaschonok, G. I. (1996). Various proofs of Sylvester's (determinant) identity. Mathematics and Computers in Simulation. 42 (4–6): 585. doi:10.1016/S0378-4754(96)00035-3.
2. Harville, David A. (2008). Matrix algebra from a statistician's perspective. Berlin: Springer. ISBN . page 416
3. Weisstein, Eric W. . MathWorld--A Wolfram Web Resource. Архів оригіналу за 29 квітня 2016. Процитовано 3 березня 2012.
4. Pozrikidis, C. (2014), , Oxford University Press, с. 271, ISBN , архів оригіналу за 8 квітня 2016, процитовано 5 червня 2016