Одиниця сім'ї множин

Одиниця (сім'ї множин) — поняття теорії множин з курсу теорія міри та інтеграла Лебега. Поняття одиниці сім'ї множин має важливе значення для визначення алгебри множин, в математичному аналізі та теорії ймовірностей.

Означення

Множина ${\displaystyle E}$ називається одиницею сім'ї множин ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$, якщо вона належить ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ і якщо для будь-якого ${\displaystyle A\in {\mathfrak {G}}}$ має місце рівність ${\displaystyle A\cap E=A}$.

Таким чином, одиниця сім'ї множин ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ це максимальна множина цієї системи, що містить усі інші елементи сім'ї ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$.

Кільце множин з одиницею називається алгеброю множин.

Приклади

1. Для будь-якої множини ${\displaystyle A}$ система ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(A)}$ всіх її підмножин являє собою алгебру множин з одиницею ${\displaystyle E=A}$.

2. Для будь-якої непорожньої множини ${\displaystyle A}$ система {Ø, A}, що складається з множини ${\displaystyle A}$ і порожньої множини Ø, творить алгебру множин з одиницею ${\displaystyle E=A}$.

3. Система всіх скінченних підмножин довільної множини ${\displaystyle A}$ являє собою кільце множин. Це кільце буде алгеброю тоді і тільки тоді, коли сама множина ${\displaystyle A}$ скінченна.

4. Система всіх обмежених підмножин числової прямої - це кільце множин, що не містить одиниці.

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)

Див. також

• Алгебра (теорія множин)
• Міра множини