Коефіцієнти Ейнштейна

Вимушене випромінювання — випромінювання фотона збудженою квантовомеханічною системою під впливом резонансної електромагнітної хвилі.

Схематичне зображення процесу вимушеного випромінювання

Термін використовується на противагу спонтанному випромінюванню.

При вимушеному випромінюванні фотон не тільки не поглинається збудженою квантовомеханічною системою, наприклад, молекулою, а викликає перехід цієї системи до стану з меншою енергією, що супроводжується появою ще одного фотона, когерентного із першим.

Вимушене випромінювання — лежить в основі роботи лазера.

Вступ. Теорія Ейнштейна

Рис. 1a. Поглинання фотона

Рис. 1б. Вимушене випускання фотона

Рис. 1в. Спонтанне випромінювання фотона

Значний внесок у розробку питання про вимушене випромінювання (випускання) вніс А. Ейнштейн, опублікувавши в 1916 і 1917 роках відповідні наукові статті. Гіпотеза Ейнштейна полягає в тому, що під дією електромагнітного поля частоти ω молекула (атом) може:

• перейти з нижчого енергетичного рівня ${\displaystyle E_{1}}$ на вищий ${\displaystyle E_{2}}$ з поглинанням фотона з енергією ${\displaystyle \hbar \omega =E_{2}-E_{1}}$ (див. рис. 1a);
• перейти з вищого енергетичного рівня ${\displaystyle E_{2}}$ на нижчий ${\displaystyle E_{1}}$ з випусканням фотона з енергією ${\displaystyle \hbar \omega =E_{2}-E_{1}}$ (див. рис. 1б);
• крім того, як і за відсутності збуджувального поля, залишається можливим мимовільний перехід молекули (атома) з верхнього на нижній рівень з випусканням фотона енергією ${\displaystyle \hbar \omega =E_{2}-E_{1}}$ (див. рис. 1в).

Перший процес називають поглинанням, другий — вимушеним (індукованим) випромінюванням, третій — спонтанним випромінюванням. Швидкість поглинання і вимушеного випускання фотона пропорційна ймовірності відповідного переходу: ${\displaystyle B_{12}\cdot u}$ і ${\displaystyle B_{21}\cdot u,}$ де ${\displaystyle B_{12},}$ ${\displaystyle B_{21}}$ — коефіцієнти Ейнштейна для поглинання і випускання, ${\displaystyle u}$ — .

Число переходів ${\displaystyle \mathrm {d} n_{1}}$ з поглинанням світла виражається як

${\displaystyle \mathrm {d} n_{1}=B_{12}u\cdot n_{1}\mathrm {d} t,\qquad \qquad (1)}$

з випромінюванням світла задається виразом:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{2}=(A_{21}+B_{21}u)\cdot n_{2}\mathrm {d} t,\qquad (2)}$

де ${\displaystyle A_{21}}$ — коефіцієнт Ейнштейна, що характеризує ймовірність спонтанного випромінювання, а ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$ — число частинок у першому або другому стані відповідно. Згідно з принципом детальної рівноваги, за термодинамічної рівноваги число квантів світла ${\displaystyle \mathrm {d} n_{1}}$, поглинутих під час переходів 1 → 2, має дорівнювати числу квантів ${\displaystyle \mathrm {d} n_{2},}$ випущених у зворотних переходах 2 → 1.

Зв'язок між коефіцієнтами

Розглянемо замкнуту порожнину, стінки якої випускають і поглинають електромагнітне випромінювання. Таке випромінювання характеризується спектральною густиною ${\displaystyle u(\omega ,T),}$ одержуваною з формули Планка:

${\displaystyle u(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1}}.\qquad \qquad (3)}$

Оскільки ми розглядаємо термодинамічну рівновагу, то ${\displaystyle \mathrm {d} n_{1}=\mathrm {d} n_{2}.}$ Використовуючи рівняння (1) і (2), знаходимо для стану рівноваги:

${\displaystyle B_{12}u(\omega ,T)n_{1}=(A_{21}+B_{21}u(\omega ,T))n_{2},}$

звідки:

${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {B_{12}u(\omega ,T)}{A_{21}+B_{21}u(\omega ,T)}}.\qquad \qquad (4)}$

За термодинамічної рівноваги розподіл частинок за рівнями енергії підпорядковується закону Больцмана:

${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {E_{2}-E_{1}}{kT}}\right),\qquad \qquad (5)}$

де ${\displaystyle g_{1}}$ і ${\displaystyle g_{2}}$ — статистичні ваги рівнів, що показують кількість незалежних станів квантової системи, що мають однакову енергію (вироджених). Будемо вважати для спрощення, що статистичні ваги рівнів дорівнюють одиниці.

Отже, порівнюючи (4) і (5) і беручи до уваги, що ${\displaystyle \hbar \omega =E_{2}-E_{1},}$ одержимо:

${\displaystyle u(\omega ,T)={\frac {A_{21}}{B_{12}\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-B_{21}}}.\qquad \qquad (6)}$

Оскільки при ${\displaystyle T\to \infty }$ спектральна густина випромінювання має необмежено зростати, то слід вважати знаменник рівним нулю, звідки маємо:

${\displaystyle B_{12}=B_{21}.}$

Далі, зіставивши (3) і (6), легко отримати:

${\displaystyle B_{21}={\frac {\pi ^{2}c^{3}}{\hbar \omega ^{3}}}\cdot A_{21}.}$

Останні два співвідношення справедливі для будь-яких комбінацій рівнів енергії. Їх справедливість зберігається і за відсутності рівноваги, оскільки вони визначаються тільки характеристикою систем і не залежать від температури.

Властивості вимушеного випускання

За властивостями вимушене випускання істотно відрізняється від спонтанного.

• Найхарактерніша риса вимушеного випромінювання полягає в тому, що електромагнітна хвиля, яка виникла, поширюється в тому ж напрямку, що й первісна індукувальна хвиля.
• Частоти й поляризація вимушеного і початкового випромінювань також рівні.
• Вимушений потік когерентний збуджувальному.

Застосування

На вимушеному випромінюванні ґрунтується робота квантових підсилювачів, лазерів і мазерів. У робочому тілі лазера під час нагніту створюється надмірна (порівняно з термодинамічним очікуванням) кількість атомів у верхньому енергетичному стані. Робоче тіло газового лазера міститься в резонаторі (в найпростішому випадку — пара дзеркал), що створює умови для накопичення фотонів з певним напрямком імпульсу. Початкові фотони виникають завдяки спонтанному випромінюванню. Потім, завдяки наявності позитивного зворотного зв'язку, вимушене випромінювання лавиноподібно наростає. Лазери зазвичай використовують для генерування випромінення, тоді як мазери, що працюють в ділянці радіочастот, застосовуються також і для підсилення.

Див. також

• Лазерний промінь
• Квантовий генератор
• Лазер
• Мазер

Джерела

• Український Радянський Енциклопедичний Словник: В 3-х т. / Редкол.: … А. В. Кудрицький (відп. ред.) та ін.— 2-ге вид. — К.: Голов. ред. УРЕ, 1986 — Т. 1. А — Калібр. 752 с. — С. 286.
• Большая Советская Энциклопедия. 3-е изд. Т. 5: Вешин-Газли. — М.: Советская Энциклопедия, 1971. — 641 с. — С. 528. (рос.)
• , , Турков Ю. Г. Оптические генераторы на твёрдом теле. — М. : Советское радио, 1967.