3d-гіпотеза Калаї

3^d-гіпотеза Калаї — гіпотеза про мінімальне число граней у центрально-симетричних багатогранників. Сформулював ^[en] 1989 року.

Гіпотеза доведена для ${\displaystyle d\leq 4}$ і залишається відкритою для довільних багатогранників у вищих вимірах.

Формулювання

У кожного d-вимірного центрально-симетричного багатогранника є, принаймні, 3^d непорожніх граней.

Маються на увазі грані всіх розмірностей, тобто вершини — це нульвимірні грані, ребра — одновимірні грані, …, сам багатогранник — d-вимірна грань. Таким чином для куба отримуємо 8 вершин + 12 ребер + 6 двовимірних граней + сам куб = 27 = 3³.

Зауваження

• Рівність досягається для довільного багатогранника Ганнера.
  • Зокрема для квадрата, куба, октаедра.

Варіації та узагальнення

• У тій самій статті Калаї сформулював сильніший варіант гіпотези. А саме, що f-вектор кожного опуклого центрально-симетричного багатогранника ${\displaystyle P}$ домінує у f-вектор, принаймні, одного багатогранника Ганнера ${\displaystyle H}$ тієї ж розмірності. Це означає, що число граней довільної розмірності в ${\displaystyle H}$ не перевищує числа граней тієї ж розмірності в ${\displaystyle P}$.

Посилання

1. Kalai, Gil (1989), The number of faces of centrally-symmetric polytopes, Graphs and Combinatorics, 5 (1): 389—391, doi:10.1007/BF01788696, MR 1554357.