Автономне диференціальне рівняння

Автономне диференціальне рівняння (англ. autonomous differential equation) — система звичайних диференціальних рівнянь, яка не залежить явно від незалежної змінної. Коли ця змінна є часом, таке рівняння також відоме як .

Багато законів фізики, де зазвичай незалежна змінна є час, виражені як автономні системи, бо припускають, що закони природи, які діють нині тотожні тим, що діяли в минулому чи діятимуть у майбутньому.

Автономні системи близько стосуються динамічних систем. Будь-яку автономну систему можна перетворити в динамічну і, використовуючи дуже слабкі припущення, динамічну систему можна перетворити в автономну.

Визначення

Автономна система — система звичайних диференціальних рівнянь у вигляді

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))}$

де x приймає значення в n-вимірному Евклідовому просторі і t зазвичай є часом.

Така система відрізняється від системи типу

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)}$

в яких закон, що керує швидкістю руху частинок залежить не тільки від положення частинок, але й від часу; такі системи не є автономними.

Важливою властивістю автономних систем є те, що векторне поле не змінюється з часом, тобто, якщо ми стартуємо в тій самій точці секундою пізніше, ми слідуємо тій самій траєкторії як і раніше лиш із затримкою на одну секунду.

Методи розв'язання

Для розв'язання одновимірних автономних диференціальних рівнянь застосовуються такі підходи. Будь-яке одновимірне рівняння порядку ${\displaystyle n}$ тотожне до ${\displaystyle n}$-вимірної системи рівнянь першого порядку, але не обов'язково навпаки.

Перший порядок

В автономному рівнянні першого порядку

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)}$

змінні можна розділити, отже його можна швидко розв'язати через переведення в інтегральну форму

${\displaystyle t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}}$

Другий порядок

Автономне рівняння другого порядку

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')}$

складніше, але його можна розв'язати через введення нової змінної

${\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}}$

і вираження другої похідної ${\displaystyle x}$ (через ланцюгове правило) як

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}}$

отже початкове рівняння переходить у

${\displaystyle v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)}$

яка є рівнянням першого порядку, яка не містить незалежної змінної ${\displaystyle t}$ і, якщо розв'язати ми отримуємо ${\displaystyle v}$ як функцію від ${\displaystyle x}$. Тоді, використавши визначення ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(x)\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}}$

що є неявним розв'язком.

Література

• Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; (2003). Диференціальні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 600. ISBN .(укр.)

Примітки

1. Boyce, William E.; Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Volume Problems (вид. 8th ed.). John Wiley & Sons. с. 133. ISBN .