Приклад Бюффона

Задача Бюффона використовується для статистичного обчислення числа Пі. Її запропонував французький учений Бюффон 1777 року.

Голка a перетинає пряму, а голка b — ні.

Задача

Площина розграфлена паралельними прямими, які розташовані на відстані ${\displaystyle 2a}$ одна від одної. На площину навмання кидають голку завдовжки ${\displaystyle 2l}$ (${\displaystyle 2l<2a}$). Знайти ймовірність того, що голка перетне одну з прямих.

Розв'язання

Позначимо ${\displaystyle x}$ — відстань від центру голки до найближчої прямої; через ${\displaystyle \varphi }$ — кут між голкою та прямою (проти годинникової стрілки). Упорядкована пара чисел з одного боку задає на площині точку, що належить прямокутнику ${\displaystyle B=[0,\pi ]\times [0,a]}$. Тому кидання голки на площину рівносильне киданню голки в прямокутник ${\displaystyle B}$. При цьому голка перетинається з прямою тоді і тільки тоді, коли справджується нерівність ${\displaystyle x\leq l\sin \varphi }$. Тобто, якщо голка перетинається з прямою, то точка, що їй відповідає, потрапляє всередину фігури, що обмежена кривою ${\displaystyle x=l\sin \varphi }$ та віссю ${\displaystyle O\varphi }$. А оскільки точку кидають навмання, то ймовірність її потрапляння до цієї фігури обчислюється як геометрична ймовірність. Отже, шуканою ймовірністю є:

${\displaystyle p={\frac {1}{a\pi }}\int _{0}^{\pi }l\sin \varphi d\varphi ={\frac {2l}{a\pi }}}$

Обчислення числа Пі

Уявімо що голка кинута на площину n разів, де n — досить велике, і при цьому вона m разів перетнула пряму. Якщо побудована модель адекватно описує експеримент, то при великих n частота числа перетинів має бути близькою до ймовірності, тобто має виконуватись співвідношення ${\displaystyle {\frac {2l}{a\pi }}\approx {\frac {m}{n}}}$, звідки дістанемо:

${\displaystyle \pi \approx {\frac {2l}{a}}\cdot {\frac {n}{m}}}$

Див. також

• Задача про голку

Джерела

• (2003). Теорія ймовірностей. Основні поняття, приклади, задачі (укр) . Київ: А.С.К. ISBN .