У диференціальній геометрії, дія групи Лі на многовиді M є груповою дією для групи Лі G на M, що є диференційованим зображенням; зокрема, це неперервна групова дія. Разом з дією групи Лі на G, M називається G-многовидом. Орбітні типи G утворюють стратифікацію М, і це можна використовувати для розуміння геометрії М.
Нехай є груповою дією. Це дія групи Лі, якщо вона диференційована. Таким чином, зокрема, зображення орбіти є диференційованим і можна розрахувати його диференціал на елементі ідентичності G:
- .
Якщо X знаходиться в , то його зображення є дотичним вектором на x та, змінюючи x, отримуємо векторне поле на M; мінус цього векторного поля називається фундаментальним векторним полем, асоційованим з X та має позначення . (""Мінус" гарантує, що є гомоморфізмом алгебри Лі). Ядро зображення можна легко показати алгеброю Лі стабілізатора (який замкнений і, таким чином, є підгрупою Лі.)
Нехай основним G-зв'язком. Оскільки G має тривіальні стабілізатори у P, для u в P, - ізоморфізм на підпростір; цей підпростір називається вертикальним підпростором. Таким чином, фундаментальне векторне поле на P є вертикальним векторним полем..
Загалом, орбітальний простір не допускає різноманітну структуру, оскільки, наприклад, він не може бути Гаусдорвовим. Крім того, якщо G - компактний то Гаусдорфів простір і якщо, крім того, дія є вільною, то, є многовидом (фактично, - основний G-зв'язкок.) Це наслідок теореми про фрагмент. Якщо "вільна дія" розслаблена до "кінцевого стабілізатора", то замість цього отримуємо .
Підстановкою для побудови частки є борелівська конструкція з алгебраїчної топології: припустимо, що G компактний і нехай позначає універсальне розшарування, яке можна вважати многовидом, оскільки G компактний, і G діє на по діагоналі; дія є вільною, оскільки вона є такою на першому факторі. Таким чином, можна сформувати фактор-множник . Конструкція, зокрема, дозволяє визначити еквіваріантні когомології M; а саме, один набір
- ,
де права сторона позначає когомологію, що має сенс, оскільки має структуру многовиду (таким чином існує поняття диференціальних форм).
Якщо G компактний, то будь-який G-многовид допускає інваріантну метрику; тобто, Ріманова метрика, щодо якої G діє на М, як ізометрія.
Див. також
Література
- de Faria, Edson; de Melo, Welington (2010), , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 127, Cambridge University Press, с. 69, ISBN , архів оригіналу за 5 липня 2014, процитовано 14 липня 2019.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U diferencialnij geometriyi diya grupi Li na mnogovidi M ye grupovoyu diyeyu dlya grupi Li G na M sho ye diferencijovanim zobrazhennyam zokrema ce neperervna grupova diya Razom z diyeyu grupi Li na G M nazivayetsya G mnogovidom Orbitni tipi G utvoryuyut stratifikaciyu M i ce mozhna vikoristovuvati dlya rozuminnya geometriyi M Nehajs G M M g x g x displaystyle sigma G times M to M g x mapsto g cdot x ye grupovoyu diyeyu Ce diya grupi Li yaksho vona diferencijovana Takim chinom zokrema zobrazhennya orbiti sx G M g g x displaystyle sigma x G to M g mapsto g cdot x ye diferencijovanim i mozhna rozrahuvati jogo diferencial na elementi identichnosti G g TxM displaystyle mathfrak g to T x M Yaksho X znahoditsya v g displaystyle mathfrak g to jogo zobrazhennya ye dotichnim vektorom na x ta zminyuyuchi x otrimuyemo vektorne pole na M minus cogo vektornogo polya nazivayetsya fundamentalnim vektornim polem asocijovanim z X ta maye poznachennya X displaystyle X Minus garantuye sho g G TM displaystyle mathfrak g to Gamma TM ye gomomorfizmom algebri Li Yadro zobrazhennya mozhna legko pokazati algebroyu Li gx displaystyle mathfrak g x stabilizatora Gx displaystyle G x yakij zamknenij i takim chinom ye pidgrupoyu Li Nehaj P M displaystyle P to M osnovnim G zv yazkom Oskilki G maye trivialni stabilizatori u P dlya u v P a au g TuP displaystyle a mapsto a u mathfrak g to T u P izomorfizm na pidprostir cej pidprostir nazivayetsya vertikalnim pidprostorom Takim chinom fundamentalne vektorne pole na P ye vertikalnim vektornim polem Zagalom orbitalnij prostir M G displaystyle M G ne dopuskaye riznomanitnu strukturu oskilki napriklad vin ne mozhe buti Gausdorvovim Krim togo yaksho G kompaktnij to M G displaystyle M G Gausdorfiv prostir i yaksho krim togo diya ye vilnoyu to M G displaystyle M G ye mnogovidom faktichno M M G displaystyle M to M G osnovnij G zv yazkok Ce naslidok teoremi pro fragment Yaksho vilna diya rozslablena do kincevogo stabilizatora to zamist cogo otrimuyemo Pidstanovkoyu dlya pobudovi chastki ye borelivska konstrukciya z algebrayichnoyi topologiyi pripustimo sho G kompaktnij i nehaj EG displaystyle EG poznachaye universalne rozsharuvannya yake mozhna vvazhati mnogovidom oskilki G kompaktnij i G diye na EG M displaystyle EG times M po diagonali diya ye vilnoyu oskilki vona ye takoyu na pershomu faktori Takim chinom mozhna sformuvati faktor mnozhnik MG EG M G displaystyle M G EG times M G Konstrukciya zokrema dozvolyaye viznachiti ekvivariantni kogomologiyi M a same odin nabir HG M Hdr MG displaystyle H G M H text dr M G de prava storona poznachaye kogomologiyu sho maye sens oskilki MG displaystyle M G maye strukturu mnogovidu takim chinom isnuye ponyattya diferencialnih form Yaksho G kompaktnij to bud yakij G mnogovid dopuskaye invariantnu metriku tobto Rimanova metrika shodo yakoyi G diye na M yak izometriya Div takozhGrupa Li Equivariant differential form IzometriyaLiteraturade Faria Edson de Melo Welington 2010 Cambridge Studies in Advanced Mathematics t 127 Cambridge University Press s 69 ISBN 9781139489805 arhiv originalu za 5 lipnya 2014 procitovano 14 lipnya 2019