4-потенціал

Електромагнітний 4-потенціал — це контраваріантний 4-вектор, часовою компонентою якого є скалярний потенціал ${\displaystyle \ \varphi }$, а просторовою — векторний потенціал ${\displaystyle \ \mathbf {A} }$ (всі формули на цій сторінці дані у системі СГС). Таким чином,

${\displaystyle \ A^{\alpha }=(\varphi ,\mathbf {A} )}$.

Введення компонент 4-потенціалу і отримання рівнянь на них

Рівняння Максвелла

${\displaystyle \ (\nabla \cdot \mathbf {B} )}$

можна тотожньо задовольнити, якщо ввести векторний потенціал ${\displaystyle \ \mathbf {A} }$ як

${\displaystyle \ \mathbf {B} =[\nabla \times \mathbf {A} ]}$.

Підставивши цей вираз для ${\displaystyle \ \mathbf {B} }$ у рівняння для ротора напруженості електричного поля, можна отримати

${\displaystyle \ \mathbf {B} =[\nabla \times \mathbf {A} ]\Rightarrow [\nabla \times \mathbf {E} ]+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\left[\nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)\right]=0\Rightarrow \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad (.1)}$,

де введений скалярний потенціал ${\displaystyle \ \varphi }$. Тепер можна переписати вираз для сили, що діє на заряд, що рухається, у електромагнітному полі, за допомогою виразів, отриманих для потенціалів:

${\displaystyle \ \mathbf {F} =q\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]=-q\nabla \varphi -{\frac {q}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+{\frac {q}{c}}[\mathbf {v} \times [\nabla \times \mathbf {A} ]]}$.

Використовуючи, знову ж таки, векторний потенціал і ${\displaystyle \ (.1)}$, можна переписати також рівняння для ротора індукції магнітного поля і для дивергенції напруженості електричного поля:

${\displaystyle \ [\nabla \times \mathbf {B} ]=[\nabla \times [\nabla \times \mathbf {A} ]]=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\Delta \mathbf {A} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\nabla \varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)\Rightarrow }$

${\displaystyle \ \Rightarrow \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta \right)\mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+(\nabla \cdot \mathbf {A} )\right)=\square \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+(\nabla \cdot \mathbf {A} )\right)={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} \qquad (.2)}$,

${\displaystyle \ (\nabla \cdot \mathbf {E} )=-\Delta \varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta \right)\varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+(\nabla \cdot \mathbf {A} )\right)=\square \varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+(\nabla \cdot \mathbf {A} )\right)=4\pi \rho \qquad (.3)}$.

Якщо задовольнити умову

${\displaystyle \ {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+(\nabla \cdot \mathbf {A} )=0}$

(умова калібрування Лоренца), то вирази набудуть більш простого вигляду:

${\displaystyle \ \square \mathbf {A} =4\pi \mathbf {j} ,\quad \square \varphi =4\pi \rho \qquad (.4)}$.

Обґрунтування.  

Вирази ${\displaystyle \ (.2),(.3)}$ можна спростити, якщо використати властивість неоднозначної визначеності потенціалів. Дійсно, векторний потенціал є визначеним з точністю до доданку - градієнту скалярної функції (при додаванні такого доданку рівняння Максвелла для дивергенції вектора індукції не змінюється):

${\displaystyle \ \mathbf {A} \Rightarrow \mathbf {A} +\nabla f}$.

Якщо також додати до скалярного потенціалу похідну від цієї ж самої функції,

${\displaystyle \ \varphi \Rightarrow \varphi +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial f}{\partial t}}}$,

то значення напруженості електричного поля, як і індукції магнітного поля, визначені через ці потенціали, не зміняться:

${\displaystyle \ \mathbf {B} =[\nabla \times (\mathbf {A} +\nabla \varphi )]=[\nabla \times \mathbf {A} ],\quad \mathbf {E} =-\nabla \left(\varphi +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right)-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {A} -\nabla \varphi \right)=-\nabla \varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$.

Внаслідок цієї невизначеності можна накласти наступну умову на векторний і скалярний потенціал:

${\displaystyle \ {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+(\nabla \mathbf {A} )=0}$.

Ця умова називається калібруванням Лоренца. Дійсно,

${\displaystyle \ {\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{c}}\left(\varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right)+(\nabla \cdot (\mathbf {A} +\nabla \varphi ))={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+(\nabla \cdot \mathbf {A} )+\square f=g\neq 0}$.

Підбором функції ${\displaystyle \ f}$ можна добитися рівності нулю величини ${\displaystyle \ {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+(\nabla \cdot \mathbf {A} )}$, що й треба було довести.

Такі рівняння називаються рівняннями д'Аламбера.

Компоненти потенціалу як єдиний 4-вектор

Ідентичність двох рівнянь з ${\displaystyle \ (.4)}$ дозволяє припустити, що і в лівій, і в правій частині знаходяться компоненти двох 4-векторів: ${\displaystyle \ A^{\alpha }=(\varphi ,\mathbf {A} ),\quad \mathbf {j} ^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {j} )}$. Тоді рівняння ${\displaystyle \ (.4)}$ можуть бути записані як одне:

${\displaystyle \ \square A^{\alpha }=4\pi j^{\alpha }}$,

причому перетворення Лоренца для компонент можуть бути записані як

${\displaystyle \ \mathbf {\varphi } '=\gamma \left(\varphi -{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} )}{c}}\right),\quad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {u} )-{\frac {\gamma }{c}}\mathbf {u} \mathbf {\varphi } }$.

Для доведення цього достатньо показати, що векторний і скалярний потенціали перетворюються як компоненти 4-вектора.

Доведення.  

Вивести перетворення для ${\displaystyle \ \mathbf {A} ',\varphi '}$ можна таким шляхом: записати перетворення для ${\displaystyle \ \mathbf {B} '=\mathbf {B} '(\mathbf {A} '),\quad \mathbf {E} '=\mathbf {E} '(\mathbf {A} ',\mathbf {\varphi } ')}$, порівняти отримані вирази із перетвореннями Лоренца для полів і звідти вже отримати перетворення для ${\displaystyle \ \mathbf {A} ',\varphi '}$. Для спрощення виведення можна співнапрямити вісь ${\displaystyle \ O_{x}}$ із вектором відносної швидкості ІСВ: ${\displaystyle \ \mathbf {u} =(u,0,0)}$.

Будуть потрібні перетворення похідних:

${\displaystyle \ \nabla '=\nabla +{\frac {\Gamma \mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \nabla )+{\frac {\gamma \mathbf {u} }{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad {\frac {\partial }{\partial t'}}=\gamma \left({\frac {\partial }{\partial t}}+(\mathbf {u} \nabla )\right)}$.

Виведення.  

Доцільно використати перетворення для радіус-вектора та для часу. Обернені перетворення Лоренца для них виглядають наступним чином:

${\displaystyle \ \mathbf {r} =\mathbf {r} '+\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} ')}{c^{2}}}+\gamma \mathbf {u} t,\quad t=\gamma \left(t'+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} ')}{c^{2}}}\right)}$.

Тоді, переходячи від змінних ${\displaystyle \ x_{i}',t'}$ до ${\displaystyle \ x_{j},t}$,

${\displaystyle \ {\frac {\partial }{\partial t'}}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial t}{\partial t'}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial t}},\quad {\frac {\partial }{\partial x_{i}'}}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial t}{\partial x_{i}'}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial x_{i}'}}}$,

можна отримати:

${\displaystyle \ {\frac {\partial t}{\partial t'}}=\gamma ,\quad {\frac {\partial x_{j}}{\partial t}}=\gamma u_{j},\quad {\frac {\partial t}{\partial x_{i}'}}={\frac {\gamma u_{i}}{c^{2}}},\quad {\frac {\partial x_{j}}{\partial x_{i}}}=\delta _{ij}+\Gamma {\frac {u_{j}u_{i}}{c^{2}}}\Rightarrow \nabla _{i}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\gamma u_{i}}{c^{2}}}+\sum _{j}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\delta _{ij}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\Gamma u_{i}u_{j}}{c^{2}}}\right)={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\gamma u_{i}}{c^{2}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+{\frac {\Gamma }{c^{2}}}u_{i}(\mathbf {u} \nabla )}$.

Звідси слідує, що

${\displaystyle \ {\frac {\partial }{\partial t'}}=\gamma {\frac {\partial }{\partial t}}+\gamma \sum _{j}u_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}=\gamma \left({\frac {\partial }{\partial t}}+(\mathbf {u} \nabla )\right)}$,

${\displaystyle \ \nabla '=\nabla +\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \nabla )+{\frac {\gamma \mathbf {u} }{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}}$.

Також, звичайно, потрібні перетворення для полів:

${\displaystyle \ \mathbf {B} '=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {u} )}$,

${\displaystyle \ \mathbf {E} '=\gamma \left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )}$.

Тоді для вектора ${\displaystyle \ \mathbf {B} '}$ можна записати:

${\displaystyle \ \mathbf {B} '=[\nabla '\times \mathbf {A} ']=\left[\left(\nabla +{\frac {\Gamma \mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \nabla )+{\frac {\gamma \mathbf {u} }{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\times \mathbf {A} '\right]=[\nabla \times \mathbf {A} ']+{\frac {\Gamma }{c^{2}}}(\mathbf {u} \nabla )[\mathbf {u} \times \mathbf {A} ']+{\frac {\gamma }{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}[\mathbf {u} \times \mathbf {A} ']=}$

${\displaystyle \ =\left({\frac {\partial A_{z}'}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}'}{\partial z}};\quad {\frac {\partial A_{x}'}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}'}{\partial x}};\quad {\frac {\partial A_{y}'}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}'}{\partial y}}\right)+\left(0;\quad -{\frac {\Gamma }{c^{2}}}u^{2}{\frac {\partial A_{z}'}{\partial x}};\quad {\frac {\Gamma u^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial A_{y}'}{\partial x}}\right)+\left(0;\quad -{\frac {\gamma u}{c^{2}}}{\frac {\partial A_{z}'}{\partial t}};\quad {\frac {\gamma u}{c^{2}}}{\frac {\partial A_{y}'}{\partial t}}\right)=}$

${\displaystyle \ =\left({\frac {\partial A_{z}'}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}'}{\partial z}};{\frac {\partial A_{x}'}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}'}{\partial x}}-{\frac {\Gamma }{c^{2}}}u^{2}{\frac {\partial A_{z}'}{\partial x}}-{\frac {\gamma u}{c^{2}}}{\frac {\partial A_{z}'}{\partial t}};{\frac {\partial A_{y}'}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}'}{\partial y}}+{\frac {\Gamma u^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial A_{y}'}{\partial x}}+{\frac {\gamma u}{c^{2}}}{\frac {\partial A_{y}'}{\partial t}}\right)=\left(B_{x};\gamma \left(B_{y}+{\frac {u}{c}}E_{z}\right);\gamma \left(B_{z}-{\frac {u}{c}}E_{y}\right)\right)}$.

Тепер кожну рівність можна проаналізувати окремо. Із першої рівності слідує, що повинна виконуватися умова ${\displaystyle \ A_{y}'=A_{y},A_{z}'=A_{z}}$. Дійсно, це слідує з довільності ${\displaystyle \ A_{y},A_{z}}$ і з того, що ${\displaystyle \ B_{x}={\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}}$.

Для отримання перетворень ${\displaystyle \ A_{x}'}$ достатньо розглянути одну із двох рівностей, що залишились. Можна взяти другу рівність:

${\displaystyle \ {\frac {\partial A_{x}'}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-{\frac {\Gamma u^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-{\frac {\gamma u}{c^{2}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial t}}=\left|\Gamma ={\frac {\gamma -1}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}\right|={\frac {\partial A_{x}'}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-\gamma {\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-{\frac {\gamma u}{c^{2}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial t}}=\left|(.1):{\frac {1}{c}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial t}}=-{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-E_{z}\right|=}$

${\displaystyle \ ={\frac {\partial A_{x}'}{\partial z}}-\gamma {\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+{\frac {\gamma u}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}+{\frac {\gamma u}{c}}E_{z}=\gamma \left(B_{y}+{\frac {u}{c}}E_{z}\right)}$.

Звідси слідує, що

${\displaystyle \ {\frac {\partial A_{x}'}{\partial z}}=\left|B_{y}={\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right|=\gamma \left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {u}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\Rightarrow A_{x}'=\gamma \left(A_{x}-{\frac {u}{c}}\varphi \right)}$.

Далі можна використати перетворення для ${\displaystyle \ \mathbf {E} '}$ (умова щодо вибору системи координат залишилась незмінною):

${\displaystyle \ \mathbf {E} '=-\nabla '\varphi '-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} '}{\partial t'}}\Rightarrow E_{y}'=-{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}-{\frac {\gamma }{c}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+u{\frac {\partial }{\partial x}}\right)A_{y}=-{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}-{\frac {\gamma }{c}}{\frac {\partial A_{y}}{\partial t}}-{\frac {u\gamma }{c}}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+\left({\frac {u\gamma }{c}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}-{\frac {u\gamma }{c}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)=}$

${\displaystyle \ =-{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}-{\frac {\gamma }{c}}{\frac {\partial A_{y}}{\partial t}}-\gamma {\frac {u}{c}}B_{z}-{\frac {u\gamma }{c}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}=\gamma \left(E_{y}-{\frac {u}{c}}B_{z}\right)\Rightarrow \left|E_{y}=-{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial A_{y}}{\partial t}}\right|\Rightarrow {\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}=\gamma \left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}-{\frac {u}{c}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\Rightarrow \varphi '=\gamma \left(\varphi -{\frac {u}{c}}A_{x}\right)}$.

Отримані перетворення, вочевидь, є перетвореннями компонент 4-вектора. Їх дуже просто, як і в випадку із радіус-вектором, узагальнити:

${\displaystyle \ \mathbf {\varphi } '=\gamma \left(\varphi -{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} )}{c}}\right),\quad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {u} )-{\frac {\gamma }{c}}\mathbf {u} \mathbf {\varphi } }$.${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$ ${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$

Розв'язок рівнянь д'Аламбера для компонент потенціалу

Отримані рівняння д'Аламбера можна розв'язати із наступних міркувань.

Загальний розв'язок рівнянь Пуассона для ${\displaystyle \ \mathbf {A} ,\varphi }$ дається інтегралами

${\displaystyle \ \mathbf {A} =\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}},\quad \varphi =\int {\frac {\rho (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}}$.

У неоднорідному нестаціонарному випадку густина заряду і струму увесь час змінюється, причому інформація про це досягає спостерігача лише за час ${\displaystyle \ t={\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}{c}}}$. Оскільки, окрім того, у рівнянні д'Аламбера присутня похідна по часу, то природно, що розв'язок цього рівняння для скалярного потенціалу і для кожної компоненти векторного потенціалу залежить не тільки від ${\displaystyle \ \mathbf {r} }$, а й від ${\displaystyle \ t=\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}{c}}}$, що виражає час запізнення: ${\displaystyle \ \rho =\rho \left(\mathbf {r} ,t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}{c}}\right)}$. Тоді можна допустити, що розв'язком рівняння д'Аламбера є той же інтеграл Пуассона, проте тепер густина є функцією і від часу. Наприклад, для ${\displaystyle \ \rho }$:

${\displaystyle \ \varphi =\varphi _{0}+\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} ,\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}{c}}\right)d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}}$,

де ${\displaystyle \ \varphi _{0}}$ — функція, що задовільняє хвильовому рівнянню.

Доведення.  

Можна безпосередньо перевірити вірність цього припущення. Для початку можна послідовно знайти значення лапласіана від густини, поділеної на ${\displaystyle |\mathbf {R} |=|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}$:

${\displaystyle \ \Delta {\frac {\rho }{R}}=\nabla \left({\frac {1}{R}}\nabla \rho +\rho \nabla {\frac {1}{R}}\right)={\frac {1}{R}}\Delta \rho +2(\nabla \rho )\nabla {\frac {1}{R}}+\rho \Delta {\frac {1}{R}}=}$

${\displaystyle \ \left|\nabla \rho ={\frac {d\rho \left(\mathbf {r} ,\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}{c}}\right)}{d\mathbf {x} }}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}{\frac {\partial t}{\partial \mathbf {x} }}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}{\frac {\mathbf {R} }{R}},\quad \Delta \rho ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}\left({\frac {\mathbf {R} }{R}}\right)^{2}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left({\frac {\mathbf {R} }{R}}\right)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}+{\frac {2}{c}}{\frac {1}{R}}{\frac {\partial \rho }{\partial t}},\quad \nabla {\frac {1}{R}}=-{\frac {\mathbf {R} }{R^{3}}}\right|=}$

${\displaystyle \ ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{R}}{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}+{\frac {2}{c}}{\frac {1}{R^{2}}}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}-{\frac {2}{c}}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}{\frac {\mathbf {R} ^{2}}{R^{4}}}+\rho \Delta {\frac {1}{R}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{R}}{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}+\rho \Delta {\frac {1}{R}}}$.

Лапласіан від виразу ${\displaystyle \ {\frac {1}{R}}}$ просто отримани із рівняння Максвелла для дивергенції напруженості електричного поля статичного заряду:

${\displaystyle \ \mathbf {E} =-\nabla {\frac {Q}{R}}\Rightarrow \nabla \mathbf {E} =-Q\Delta {\frac {1}{R}}=-4\pi Q\delta _{a}(\mathbf {R} )\Rightarrow \Delta {\frac {1}{R}}=-4\pi \delta _{a}(\mathbf {R} )}$.

Якщо підставити всі ці вирази у ${\displaystyle \ (.4)}$, можна отримати, що

${\displaystyle \ {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}\int {\frac {{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}=4\pi \int \rho \left(\mathbf {r} ,t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}{c}}\right)\delta _{a}(\mathbf {x} -\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} }$. Далі треба врахувати два аспекти. По-перше, величини ${\displaystyle \ \mathbf {x} ,\mathbf {r} }$ у будь-який момент часу не залежать від ${\displaystyle \ t}$: перший вектор відповідає фіксованій точці простору, другий - змінній інтегрування. Тому ${\displaystyle \ {\frac {\partial }{\partial t}}}$ еквівалентно ${\displaystyle \ {\frac {\partial }{\partial \tau }}}$. А отже,

${\displaystyle \ {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}\int {\frac {{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}={\frac {1}{c^{2}}}\int {\frac {{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}-{\frac {1}{c^{2}}}\int {\frac {{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}=0}$.

По-друге, користуючись "фільтрувальною" властивістю дельта-функції, можна записати, що

${\displaystyle \ 4\pi \int \rho \left(\mathbf {r} ,t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}{c}}\right)\delta _{a}(\mathbf {x} -\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} =4\pi \rho (\mathbf {x} ,t)}$.

Отже, наведені розв'язки для скалярного і векторного потенціалів задовольняють рівнянню д'Аламбера. ${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$

Див. також

• Векторний потенціал електромагнітного поля
• Потенціал Ліенара — Віхерта
• Перетворення Лоренца для полів
• Квантова електродинаміка
• Електромагнетизм