Проблема Воринга — запропонована у 1770 році проблема теорії чисел, що запитує чи для кожного натурального числа k існує пов'язане додатне ціле число s таке, що кожне натуральне число є сумою не більше, ніж s k-тих степенів натуральних чисел (наприклад, кожне число є сумою не більше 4 квадратів, або 9 кубів, або 19 четвертих степенів і т.д.). Ствердна відповідь, відома як теорема Гільберта-Воринга, була доведена Гільбертом в 1909 році. Проблема Воринга має свою власну , 11P05, "Проблема Воринга та варіанти".
Число g(k)
Для кожного k, позначимо через g(k) мінімальне число k-тих степенів, необхідних для подання всіх цілих чисел. Очевидно, що g(1) = 1. Прості міркування показують, що 7 вимагає 4 квадрати, 23 вимагає 9 кубів, і 79 вимагає 19 четвертих степенів; ці приклади показують, що g(2) ≥ 4, g(3) ≥ 9, а g(4) ≥ 19. Воринга припустив, що ці значення були дійсно найкращі з можливих.
У 1770 році Лагранж довів теорему про чотири квадрати згідно з якою, кожне натуральне число є сумою не більше чотирьох квадратів, а, оскільки, трьох квадратів не вистачає, ця теорема встановила, що g(2) = 4. Таку гіпотезу висловлював ще в 1621 році (Claude Gaspard Bachet de Méziriac); Ферма стверджував, що знає доведення, але не опублікував його.
Протягом багатьох років, використовують все більш витончені й складні методи доведення, були встановлені різні оцінки. Наприклад, Ліувілль показав, що g(4) не перевищує 53. Гарді та Літлвуд показали, що досить великі числа є сумою не більше 19 четвертих степенів.
Те, що g(3) = 9 було встановлено між 1909 та 1912 роками та Кемпнером (A. J. Kempner), у 1986 році (Ramachandran Balasubramanian), Дресс (F. Dress) та J.-M. Deshouillers показали, що g(4) = 19
Ейлер припустив, що, позначаючи через [x] і {x} цілу та дробової частини x відповідно, g(k) = 2k + [(3/2)k] − 2.. Пізніші роботи (Leonard Eugene Dickson), та інших уточнили цю ідею.
Число G(k)
Границі |
---|
4 ≤ G(2) ≤ 4 |
4 ≤ G(3) ≤ 7 |
16 ≤ G(4) ≤ 16 |
6 ≤ G(5) ≤ 17 |
9 ≤ G(6) ≤ 21 |
8 ≤ G(7) ≤ 33 |
32 ≤ G(8) ≤ 42 |
13 ≤ G(9) ≤ 50 |
12 ≤ G(10) ≤ 59 |
12 ≤ G(11) ≤ 67 |
16 ≤ G(12) ≤ 76 |
14 ≤ G(13) ≤ 84 |
15 ≤ G(14) ≤ 92 |
16 ≤ G(15) ≤ 100 |
64 ≤ G(16) ≤ 109 |
18 ≤ G(17) ≤ 117 |
27 ≤ G(18) ≤ 125 |
20 ≤ G(19) ≤ 134 |
25 ≤ G(20) ≤ 142 |
Починаючи з робіт Гарді та Літлвуда, більша увага ніж g(k) приділяється числу G(k), яке визначається як найменше число s таке, що кожне достатньо велике ціле (тобто кожне ціле число, більше деякої константи) може бути представлено у вигляді суми не більше ніж s k-тих степенів додатних цілих. Очевидно, що G(k) ≤ g(k). Оскільки квадрати цілих чисел 0,1 або 4 за модулем 8, то жодне число x ≡ 7 (mod 8) не може бути представлене сумою менш ніж чотирьох квадратів, тобто, G(2)=4.
У 1939 році (Harold Davenport) показав, що G(4)=16. Для інших k значення G(k) є невідоме, але встановлені нижня та верхні границі:
Див. також
Примітки
- D. Hilbert, Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem), Mathematische Annalen, 67, стор. 281-300 (1909)
- (1920). Chapter VIII. History of the Theory of Numbers, Volume II: Diophantine Analysis. Carnegie Institute of Washington.
- (1909). Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt. Mathematische Annalen. 66: 95—101. doi:10.1007/BF01450913.[недоступне посилання з квітня 2019]
- Kempner, Aubrey (1912). Bemerkungen zum Waringschen Problem. Mathematische Annalen. 72: 387—399. doi:10.1007/BF01456723.[недоступне посилання з квітня 2019]
- Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François, Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution. (French. English summary) [Waring's problem for biquadrates. I. Sketch of the solution] C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 303 (1986), no. 4, pp. 85-88
- Припущення Ейлера - Wolfram MathWorld
- (1944). An unsolved case of the Waring problem. American Journal of Mathematics. 66 (1): 137—143. doi:10.2307/2371901.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Problema Voringa zaproponovana u 1770 roci problema teoriyi chisel sho zapituye chi dlya kozhnogo naturalnogo chisla k isnuye pov yazane dodatne cile chislo s take sho kozhne naturalne chislo ye sumoyu ne bilshe nizh s k tih stepeniv naturalnih chisel napriklad kozhne chislo ye sumoyu ne bilshe 4 kvadrativ abo 9 kubiv abo 19 chetvertih stepeniv i t d Stverdna vidpovid vidoma yak teorema Gilberta Voringa bula dovedena Gilbertom v 1909 roci Problema Voringa maye svoyu vlasnu 11P05 Problema Voringa ta varianti Chislo g k Dlya kozhnogo k poznachimo cherez g k minimalne chislo k tih stepeniv neobhidnih dlya podannya vsih cilih chisel Ochevidno sho g 1 1 Prosti mirkuvannya pokazuyut sho 7 vimagaye 4 kvadrati 23 vimagaye 9 kubiv i 79 vimagaye 19 chetvertih stepeniv ci prikladi pokazuyut sho g 2 4 g 3 9 a g 4 19 Voringa pripustiv sho ci znachennya buli dijsno najkrashi z mozhlivih U 1770 roci Lagranzh doviv teoremu pro chotiri kvadrati zgidno z yakoyu kozhne naturalne chislo ye sumoyu ne bilshe chotiroh kvadrativ a oskilki troh kvadrativ ne vistachaye cya teorema vstanovila sho g 2 4 Taku gipotezu vislovlyuvav she v 1621 roci Claude Gaspard Bachet de Meziriac Ferma stverdzhuvav sho znaye dovedennya ale ne opublikuvav jogo Protyagom bagatoh rokiv vikoristovuyut vse bilsh vitoncheni j skladni metodi dovedennya buli vstanovleni rizni ocinki Napriklad Liuvill pokazav sho g 4 ne perevishuye 53 Gardi ta Litlvud pokazali sho dosit veliki chisla ye sumoyu ne bilshe 19 chetvertih stepeniv Te sho g 3 9 bulo vstanovleno mizh 1909 ta 1912 rokami ta Kempnerom A J Kempner u 1986 roci Ramachandran Balasubramanian Dress F Dress ta J M Deshouillers pokazali sho g 4 19 Ejler pripustiv sho poznachayuchi cherez x i x cilu ta drobovoyi chastini x vidpovidno g k 2k 3 2 k 2 Piznishi roboti Leonard Eugene Dickson ta inshih utochnili cyu ideyu Chislo G k Granici4 G 2 44 G 3 716 G 4 166 G 5 179 G 6 218 G 7 3332 G 8 4213 G 9 5012 G 10 5912 G 11 6716 G 12 7614 G 13 8415 G 14 9216 G 15 10064 G 16 10918 G 17 11727 G 18 12520 G 19 13425 G 20 142 Pochinayuchi z robit Gardi ta Litlvuda bilsha uvaga nizh g k pridilyayetsya chislu G k yake viznachayetsya yak najmenshe chislo s take sho kozhne dostatno velike cile tobto kozhne cile chislo bilshe deyakoyi konstanti mozhe buti predstavleno u viglyadi sumi ne bilshe nizh s k tih stepeniv dodatnih cilih Ochevidno sho G k g k Oskilki kvadrati cilih chisel 0 1 abo 4 za modulem 8 to zhodne chislo x 7 mod 8 ne mozhe buti predstavlene sumoyu mensh nizh chotiroh kvadrativ tobto G 2 4 U 1939 roci Harold Davenport pokazav sho G 4 16 Dlya inshih k znachennya G k ye nevidome ale vstanovleni nizhnya ta verhni granici Div takozhSuma troh kubiv Teorema Lezhandra pro tri kvadratiPrimitkiD Hilbert Beweis fur die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n ter Potenzen Waringsches Problem Mathematische Annalen 67 stor 281 300 1909 1920 Chapter VIII History of the Theory of Numbers Volume II Diophantine Analysis Carnegie Institute of Washington 1909 Beweis des Satzes dass sich eine jede ganze Zahl als Summe von hochstens neun positiven Kuben darstellen lasst Mathematische Annalen 66 95 101 doi 10 1007 BF01450913 nedostupne posilannya z kvitnya 2019 Kempner Aubrey 1912 Bemerkungen zum Waringschen Problem Mathematische Annalen 72 387 399 doi 10 1007 BF01456723 nedostupne posilannya z kvitnya 2019 Balasubramanian Ramachandran Deshouillers Jean Marc Dress Francois Probleme de Waring pour les bicarres I Schema de la solution French English summary Waring s problem for biquadrates I Sketch of the solution C R Acad Sci Paris Ser I Math 303 1986 no 4 pp 85 88 Pripushennya Ejlera Wolfram MathWorld 1944 An unsolved case of the Waring problem American Journal of Mathematics 66 1 137 143 doi 10 2307 2371901