Скалярний потенціал

Потенціа́л (скалярний потенціал) векторного поля ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — це така скалярна функція ${\displaystyle \phi }$, що у всіх точках визначення поля ${\displaystyle \mathbf {A} }$ з точністю до знаку дорівнює градієнту ${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle \mathbf {A} =-\operatorname {grad} \phi }$.

Потенціальні поля

Поле називається потенціальним, якщо для нього існує скалярний потенціал. Неперервне векторне поле в однозв'язній області тримірного простору є потенціальним тоді і тільки тоді, коли воно є безвихровим:

${\displaystyle \mathbf {A} =-\operatorname {grad} \,\phi \Leftrightarrow \operatorname {rot} \,\mathbf {A} =0}$.

Для потенціальних полів криволінійний інтеграл між двома точками

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {A} (\mathbf {r} )\,\mathbf {dr} }$

не залежить від шляху інтегрування ${\displaystyle C}$, що з'єднує ці точки. Ця умова рівносильна тому, що інтеграл по будь-якому замкнутому контуру ${\displaystyle C}$ буде рівний нулю:

${\displaystyle \oint \limits _{C}\mathbf {A} (\mathbf {r} )\,\mathbf {dr} =0}$.

Скалярний потенціал силових полів

Скалярний потенціал — енергетична характеристика силового поля. В скалярному потенціальному силовому полі робота з пересування ^[en] не залежить від шляху, а лише від координат початкової та кінцевої точки.

Чисельно потенціал дорівнює роботі, яку здійснюють сили поля, пересуваючи одиницю маси (потенціал тяжіння) чи електричного заряду (електростатичний потенціал) з цієї точки поля до точки, де потенціал вважають рівним нулю. Зазвичай потенціал вважають нульовим на нескінченості. Отже, потенціал — це величина, що чисельно (але не за розмірністю) дорівнює роботі, витраченій на пересування пробного тіла з нескінченості в цю точку простору.

Див. також

• Векторний потенціал
• Векторний потенціал електромагнітного поля
• Електростатичний потенціал
• Ньютонівський потенціал
• Потенціальні сили