Обвідна (хвилі)

У фізиці і техніці, обвідна коливального сигналу це гладка крива, що окреслює всі його екстремуми. Таким чином обвідна узагальнює поняття сталої амплітуди. На зображенні показано модульовану синусоїдну хвилю, яка коливається між верхньою і нижньою обвідною лінією. Обвідна функція може бути функцією із змінною часу, простору, кута, або по суті будь-якої змінної величини.

верхня і нижня обвідні функції для синусоїдної модульованої хвилі.

Приклад: биття хвиль

Див. також: Биття

Модульована хвиля отримана шляхом додавання двох синусних хвиль з майже однаковою довжиною хвилі і частотою.

Простою ситуацією з отримання обвідної функції в обох вимірах, в просторі x і у часі t є суперпозиція двох хвиль з майже однаковою довжиною хвилі і частотою:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\right]\\[6pt]&\approx 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{aligned}}}$

тут використано тригонометричні формули для (додавання двох синусних хвиль), і наближення Δλ ≪ λ:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\approx {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}.}$

Тут модульована довжина хвилі λ_mod задана як:

${\displaystyle \lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }}\ .}$

Довжина хвилі модуляції вдвічі перевищує довжину хвилі обвідної, оскільки кожна половина довжини хвилі модулюючої косинусної хвилі обумовлює додатні і від'ємні значення модульованої синусної хвилі. Аналогічно, частота биття яку задає обвідна, вдвічі більша за модулюючу хвилю, або 2Δf.

Якщо ця хвиля є звуковою хвилею, вухо сприймає частоту, що відповідає f а амплітуда цього звуку змінюється із частотою биття.

Див. також

• ^[en] (електроніка)

Джерела

1. C. Richard Johnson, Jr; William A. Sethares; Andrew G. Klein (2011). Figure C.1: The envelope of a function outlines its extremes in a smooth manner. Software Receiver Design: Build Your Own Digital Communication System in Five Easy Steps. Cambridge University Press. с. 417. ISBN .
2. Blair Kinsman (2002). Wind Waves: Their Generation and Propagation on the Ocean Surface (вид. Reprint of Prentice-Hall 1965). . с. 186. ISBN .
3. Mark W. Denny (1993). Air and Water: The Biology and Physics of Life's Media. Princeton University Press. с. 289. ISBN .
4. Paul Allen Tipler; Gene Mosca (2008). Physics for Scientists and Engineers, Volume 1 (вид. 6th). Macmillan. с. 538. ISBN .