Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
«Кітаб аль-Муамма» (араб. كتاب المُعَمَّى — «Книга таємної мови») — арабська книга, складена у VIII столітті Халілем Ахмадом ібн аль-Фарахіді на основі його власного методу шифрування.
З VIII століття н. е. розвиток криптографії відбувається в основному в арабських країнах — саме араби першими почали використовувати статистику й теорію ймовірностей в тій чи іншій формі. Вважається, що відомий арабський філолог VIII століття ібн Ахмад Халіль аль-Фарахіді першим звернув увагу на можливість використання стандартних фраз відкритого тексту для дешифрування текстів.
На основі відкритого ним методу дешифрування, він написав книгу «Кітаб Аль-Муамма».
Передісторія
Одного разу Халілю ібн Ахмаду потрібно було дешифрувати криптограмму на грецькій мові, яку переслав йому візантійський імператор. Він пояснив свій метод розшифровки так:
 | Я сказав собі, що лист повинен починатися зі слів «В ім'я Аллаха» або як-небудь в цьому роді. Отже, я склав на основі цього перші літери, і все виявилося правильним. |  |
Іншими словами, його рішення було засноване на відомій (вірно увгаданій) частині тексту повідомлення, яка почалася: «В ім'я Аллаха перед усім …» (англ. His solution was based on known (correctly guessed) plaintext at the message which began: “In the name of Allah before all things…”.).
Цей метод атаки був використаний у Великій Вітчизняній війні[], щоб зламати німецькі комунікації.
Будова книги
Метод шифрування, придуманий Аль-Фарахіді, являє собою звукову частину вже відомої мови (в оригіналі — арабської). Словник включає в себе деякі складові вихідної мови. Застосовується правило відбору слів і букв, згідно з яким перераховане вище не повинно підкорятися правилам фонологічних досліджень, яке Аль-Фарахіді отримав раніше у своїх працях. Для цього він використовував свої знання з музики.
Провівши відмінність між знаками й значеннями, він був в змозі створити мову знаків поодинці. Ця диференціація дозволила запропонувати наступне: існують регулярні звуки (музичні) й нерегулярні звуки (аперіодичні), тобто іншими словами — голосні й приголосні звуки. Приголосні звуки потім були класифіковані, згідно з їх точки артикуляції: починаючи з ларингальних звуків і закінчуючи губними, голосні ж залишилися в одній групі звуків. Надалі такий поділ значно полегшив процес шифрування.
Пізніше арабські криптографи вдаються до частотного аналізу тексту, запропонованого аль-Фарахіді, для розрахунку частоти слів у своїх роботах.
Інші праці на основі запропонованого методу
На жаль, книга «Кітаб аль-Муамма» не збереглася, до читача дійшла згадками в роботах інших вчених. Найвідоміша праця, на основі медоту дешифрування Халіля ібн Ахмада — це праця Абу Юсуф Якуб ібн Ісхак ібн Сабба аль-Кінді, відомого філософа, математика й астронома, який називається «Трактат про дешифрування криптографічних повідомлень».
Метод, запропонований Халілем Ахмадом Ібн, містить багато нововведень, в тому числі використання перестановок і комбінацій різних слів (для того, щоб перерахувати всі можливі арабські слова без використання голосних літер у них).
Але вся революційна й допрацьована система криптоаналізу, запропонована Аль-Кінді, вміщається в два коротких абзаци:
| | Один із способів прочитати зашифроване повідомлення, якщо ми знаємо мову, якою Ви набираєте, - це взяти інший незашифрований текст на тій же мові, розміром на сторінку або близько того, і потім підрахувати появу в ньому кожної із букв. Назвемо найбільш часто зустрівану букву «перша», букву, яка за частотою появи стоїть на другому місці, назвемо «друга», букву, яка за частотою появи стоїть на третьому місці, назвемо «третя» і так далі, поки не будуть пораховані всі різні букви в незашифрованому тексті. Потім подивимося на зашифрований текст, який ми хочемо прочитати, і таким же способом проведемо сортування його символів. Знайдемо символ, який найчастіше зустрічається і замінимо його «першою» буквою незашифрованого тексту, другий за частотою появи символ замінимо «другою» буквою, третій по частоті появи символ замінимо «третьою» буквою і так далі, поки не будуть замінені всі символи зашифрованого повідомлення, яке ми хочемо дешифрувати. | |
Крім трактату Аль-Кінді є не менш відома робота — це енциклопедія з 14 томів «Шауб аль-Аша» («Світоч для незрячого в ремеслі писаря»), яка була написана вченим Шіхабом ад-Дін Абу-л-Аббас Ахмад ібн Алі ал-Калкашанді в 1412 році. Всі наступні роботи з криптоаналізу в арабських країнах до X століття були на основі одного з цих двох трактатів — «Трактат про дешифрування криптографічних повідомлень» або «Шауб аль-Аша», оскільки робота Халіля Ібн Ахмада не збереглася, то автор виклав всі відомі йому на той час криптосистеми. В роботі пропонувалося сім систем шифрування, які повторювали неопубліковані ідеї його попередника , який вперше використав частотний аналіз літер. Ось ці системи шифрування:
- заміна однієї літери на іншу;
- написання слова в зворотному порядку;
- написання на зворотному порядку деяких літер слів;
- заміна букв на цифри, згідно з прийнятою заміною арабських букв числами;
- заміна кожної букви відкритого тексту на дві арабські літери, які можуть використовуватися в ролі чисел і сума яких дорівнює цифровій величині шифрованих букв відкритого тексту;
- заміна кожної літери на ім'я якоїсь людини;
- використання словника заміни, що описує положення Місяця, назви країн (в певному порядку), назви фруктів, дерев і т. д.
Це лише деякі способи шифрування вихідного тексту для ускладнення злому його ж та вже будучи зашифрованого. Але систему шифрування (тобто ключ) потрібно було вказати, щоб той, кому призначається повідомлення, зміг його швидко розшифрувати.
Перший раз за всю історію шифрів в цій енциклопедії наводився список систем перестановки й заміни систем. Та найголовніше, що вперше було представлено опис криптоаналітичного дослідження шифротекста. Мабуть, він був складений після інтенсивного й скрупульозного вивчення Корану арабськими граматиками. Вони займалися підрахунком частоти появи слів, вивчали фонетику слів (для встановлення морфологічного походження того чи іншого слова — арабське або воно чи було запозичене з іншої мови). При складанні словників, авторам доводилося враховувати частоту появи літер, а також те, які букви можуть стояти поруч, а які ніколи не зустрічаються по сусідству. Зібравши всю накопичену інформацію разом і відштовхнувшись від ідеї Халіля ібн Ахмада, Калкашанді описав у своїй книзі спосіб розшифровки повідомлення:
| | Якщо ви хочете прочитати повідомлення, яке ви отримали в зашифрованому вигляді, то почніть підрахунок літер, а потім порахуйте, скільки разів повторюється кожен знак. Якщо винахідник шифру був дуже уважний і приховав у повідомленні всі межі між словами, то перше завдання полягає в знаходженні знака, що розділяє слова. Це робиться так: Ви берете букву і працюєте з нею, виходячи з припущення, що наступна буква є знаком, що ділить слова. Так Ви вивчаєте все повідомлення з урахуванням різних комбінацій букв, із яких можуть бути складені слова. Якщо виходить, тоді все в порядку; якщо немає, то ви берете наступну за рахунком букву і т. д., поки Ви не зможете встановити знак розділу між словами. Після цього Вам потрібно визначити, які букви найчастіше зустрічаються в повідомленні, і порівняти їх із зразком частоти народження букв. Коли Ви побачите, що одна буква трапляється частіше за інші в даному повідомленні, Ви припускаєте, що це буква «Аліф». Потім Ви припускаєте, що наступна по частоті буде буквою . Точність вашого припущення повинна підтверджуватися тим фактом, що в більшості контекстів буква «Лям» слідує за буквою «Аліф». Перші слова, які Ви спробуєте розгадати в повідомленні, повинні складатися з двох букв. Це робиться шляхом оцінки найбільш ймовірних комбінацій букв. Ви передплачуєте їх еквіваленти щоразу, коли вони трапляються в повідомленні. Потрібно застосовувати точно такий же принцип по відношенню до трьохлітерних слів. Ви передплачуєте еквіваленти з усього повідомлення. Цей же принцип застосовується по відношенню до слів, що складаються із чотирьох і п'яти букв. Кожен раз, коли виникає якийсь сумнів, потрібно висловити два, три припущення або ще більше й виписати кожен з них, поки воно не підтвердиться на підставі іншого слова. | |
Іншими словами, Калкашанді починає виклад з того, що криптоаналітик має знати мову, на якій написана криптограма. Далі складається докладний опис його лінгвістичних характеристик (Калкашанді використовує арабську мову, як «найблагороднішу і найпрекраснішу з усіх мов»). Після цього наводяться перелік літер, які ніколи не можуть стояти разом в одному слові, і букв, які рідко з'являються по сусідству. Розглядаються також літерні комбінації, які в словах зустріти неможливо. Останнім йде список літер у порядку частоти їх використання в арабській мові у світлі результатів вивчення священного Корану". Автор навіть зазначає, що «в творах, не пов'язаних з Кораном, частота використання може бути іншою».
Калкашанді навів приклад розкриття шифру: дешифрована криптограма складається із двох віршованих рядків, зашифрованих за допомогою умовних символів. На закінчення Калкашанді зазначив, що вісім букв не було використано і що це саме ті букви, які знаходяться в кінці переліку, складеного за частотою появи. Він підкреслив: «Однак це проста випадковість: літера може бути поставлена не на те місце, яке вона повинна займати у вищезгаданому переліку». Так Калкашанді привів наочний приклад використання статистичного аналізу тексту шифрування повідомлень. Примітно, що даний метод успішно застосовується в розшифровці повідомлень, зашифрованих методом використання одного алфавіту (моноалфавітний метод), по цей день, але він не є криптостійким.
Примітки
Література
- Beckman Bengt. «Codebreakers: Arne Beurling and the Swedish Crypto Program During World War II» [ 9 вересня 2018 у Wayback Machine.]. — «The Mathematical Intelligencer», 2002. — . (англ.)
- Roshdi Rashed. «The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra». — «The Mathematical Intelligencer», 1994. — . (англ.)
- Roshdi Rashed. «Combinational analysis, numerical analysis, Diophantine analysis and number theory.» [ 29 вересня 2020 у Wayback Machine.] Taken from Encyclopedia of the History of Arabic Science, Volume 2: Mathematics and the Physical Sciences. — «The Mathematical Intelligencer», 1996. — . (англ.)
- Broemeling Lyle D. «An Account of Early Statistical Inference in Arab Cryptology» [ 29 вересня 2020 у Wayback Machine.]. — Journal: «The American Statistician», 2011. (англ.)
- Гребенников В.В. «Історія криптології & секретного зв'язку» («История криптологии & секретной связи») [ 9 вересня 2018 у Wayback Machine.]. — 2012. (укр.)
- И.Ю.Крачковский. Избранные сочинения. Т.IV. «Арабская географическая литература». [ 18 жовтня 2015 у Wayback Machine.]. — «Восточная литература», 1957. — . (рус.)
- . — New York: Charles Scribner's Sons, 1967. — . (англ.)
- . — «НОВЫЙ СВЕТ», регистрационный номер журнала: ПИ №77-17225, 2012. — С. 42. (рус.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kitab al Muamma arab كتاب الم ع م ى Kniga tayemnoyi movi arabska kniga skladena u VIII stolitti Halilem Ahmadom ibn al Farahidi na osnovi jogo vlasnogo metodu shifruvannya Z VIII stolittya n e rozvitok kriptografiyi vidbuvayetsya v osnovnomu v arabskih krayinah same arabi pershimi pochali vikoristovuvati statistiku j teoriyu jmovirnostej v tij chi inshij formi Vvazhayetsya sho vidomij arabskij filolog VIII stolittya ibn Ahmad Halil al Farahidi pershim zvernuv uvagu na mozhlivist vikoristannya standartnih fraz vidkritogo tekstu dlya deshifruvannya tekstiv Na osnovi vidkritogo nim metodu deshifruvannya vin napisav knigu Kitab Al Muamma PeredistoriyaOdnogo razu Halilyu ibn Ahmadu potribno bulo deshifruvati kriptogrammu na greckij movi yaku pereslav jomu vizantijskij imperator Vin poyasniv svij metod rozshifrovki tak Ya skazav sobi sho list povinen pochinatisya zi sliv V im ya Allaha abo yak nebud v comu rodi Otzhe ya sklav na osnovi cogo pershi literi i vse viyavilosya pravilnim Inshimi slovami jogo rishennya bulo zasnovane na vidomij virno uvgadanij chastini tekstu povidomlennya yaka pochalasya V im ya Allaha pered usim angl His solution was based on known correctly guessed plaintext at the message which began In the name of Allah before all things Cej metod ataki buv vikoristanij u Velikij Vitchiznyanij vijni pereviriti shob zlamati nimecki komunikaciyi Budova knigiMetod shifruvannya pridumanij Al Farahidi yavlyaye soboyu zvukovu chastinu vzhe vidomoyi movi v originali arabskoyi Slovnik vklyuchaye v sebe deyaki skladovi vihidnoyi movi Zastosovuyetsya pravilo vidboru sliv i bukv zgidno z yakim pererahovane vishe ne povinno pidkoryatisya pravilam fonologichnih doslidzhen yake Al Farahidi otrimav ranishe u svoyih pracyah Dlya cogo vin vikoristovuvav svoyi znannya z muziki Provivshi vidminnist mizh znakami j znachennyami vin buv v zmozi stvoriti movu znakiv poodinci Cya diferenciaciya dozvolila zaproponuvati nastupne isnuyut regulyarni zvuki muzichni j neregulyarni zvuki aperiodichni tobto inshimi slovami golosni j prigolosni zvuki Prigolosni zvuki potim buli klasifikovani zgidno z yih tochki artikulyaciyi pochinayuchi z laringalnih zvukiv i zakinchuyuchi gubnimi golosni zh zalishilisya v odnij grupi zvukiv Nadali takij podil znachno polegshiv proces shifruvannya Piznishe arabski kriptografi vdayutsya do chastotnogo analizu tekstu zaproponovanogo al Farahidi dlya rozrahunku chastoti sliv u svoyih robotah Inshi praci na osnovi zaproponovanogo metoduNa zhal kniga Kitab al Muamma ne zbereglasya do chitacha dijshla zgadkami v robotah inshih vchenih Najvidomisha pracya na osnovi medotu deshifruvannya Halilya ibn Ahmada ce pracya Abu Yusuf Yakub ibn Ishak ibn Sabba al Kindi vidomogo filosofa matematika j astronoma yakij nazivayetsya Traktat pro deshifruvannya kriptografichnih povidomlen Persha storinka rukopisu Traktat pro deshifruvannya kriptografichnih povidomlen Metod zaproponovanij Halilem Ahmadom Ibn mistit bagato novovveden v tomu chisli vikoristannya perestanovok i kombinacij riznih sliv dlya togo shob pererahuvati vsi mozhlivi arabski slova bez vikoristannya golosnih liter u nih Ale vsya revolyucijna j dopracovana sistema kriptoanalizu zaproponovana Al Kindi vmishayetsya v dva korotkih abzaci Odin iz sposobiv prochitati zashifrovane povidomlennya yaksho mi znayemo movu yakoyu Vi nabirayete ce vzyati inshij nezashifrovanij tekst na tij zhe movi rozmirom na storinku abo blizko togo i potim pidrahuvati poyavu v nomu kozhnoyi iz bukv Nazvemo najbilsh chasto zustrivanu bukvu persha bukvu yaka za chastotoyu poyavi stoyit na drugomu misci nazvemo druga bukvu yaka za chastotoyu poyavi stoyit na tretomu misci nazvemo tretya i tak dali poki ne budut porahovani vsi rizni bukvi v nezashifrovanomu teksti Potim podivimosya na zashifrovanij tekst yakij mi hochemo prochitati i takim zhe sposobom provedemo sortuvannya jogo simvoliv Znajdemo simvol yakij najchastishe zustrichayetsya i zaminimo jogo pershoyu bukvoyu nezashifrovanogo tekstu drugij za chastotoyu poyavi simvol zaminimo drugoyu bukvoyu tretij po chastoti poyavi simvol zaminimo tretoyu bukvoyu i tak dali poki ne budut zamineni vsi simvoli zashifrovanogo povidomlennya yake mi hochemo deshifruvati Krim traktatu Al Kindi ye ne mensh vidoma robota ce enciklopediya z 14 tomiv Shaub al Asha Svitoch dlya nezryachogo v remesli pisarya yaka bula napisana vchenim Shihabom ad Din Abu l Abbas Ahmad ibn Ali al Kalkashandi v 1412 roci Vsi nastupni roboti z kriptoanalizu v arabskih krayinah do X stolittya buli na osnovi odnogo z cih dvoh traktativ Traktat pro deshifruvannya kriptografichnih povidomlen abo Shaub al Asha oskilki robota Halilya Ibn Ahmada ne zbereglasya to avtor viklav vsi vidomi jomu na toj chas kriptosistemi V roboti proponuvalosya sim sistem shifruvannya yaki povtoryuvali neopublikovani ideyi jogo poperednika yakij vpershe vikoristav chastotnij analiz liter Os ci sistemi shifruvannya zamina odniyeyi literi na inshu napisannya slova v zvorotnomu poryadku napisannya na zvorotnomu poryadku deyakih liter sliv zamina bukv na cifri zgidno z prijnyatoyu zaminoyu arabskih bukv chislami zamina kozhnoyi bukvi vidkritogo tekstu na dvi arabski literi yaki mozhut vikoristovuvatisya v roli chisel i suma yakih dorivnyuye cifrovij velichini shifrovanih bukv vidkritogo tekstu zamina kozhnoyi literi na im ya yakoyis lyudini vikoristannya slovnika zamini sho opisuye polozhennya Misyacya nazvi krayin v pevnomu poryadku nazvi fruktiv derev i t d Ce lishe deyaki sposobi shifruvannya vihidnogo tekstu dlya uskladnennya zlomu jogo zh ta vzhe buduchi zashifrovanogo Ale sistemu shifruvannya tobto klyuch potribno bulo vkazati shob toj komu priznachayetsya povidomlennya zmig jogo shvidko rozshifruvati Pershij raz za vsyu istoriyu shifriv v cij enciklopediyi navodivsya spisok sistem perestanovki j zamini sistem Ta najgolovnishe sho vpershe bulo predstavleno opis kriptoanalitichnogo doslidzhennya shifroteksta Mabut vin buv skladenij pislya intensivnogo j skrupuloznogo vivchennya Koranu arabskimi gramatikami Voni zajmalisya pidrahunkom chastoti poyavi sliv vivchali fonetiku sliv dlya vstanovlennya morfologichnogo pohodzhennya togo chi inshogo slova arabske abo vono chi bulo zapozichene z inshoyi movi Pri skladanni slovnikiv avtoram dovodilosya vrahovuvati chastotu poyavi liter a takozh te yaki bukvi mozhut stoyati poruch a yaki nikoli ne zustrichayutsya po susidstvu Zibravshi vsyu nakopichenu informaciyu razom i vidshtovhnuvshis vid ideyi Halilya ibn Ahmada Kalkashandi opisav u svoyij knizi sposib rozshifrovki povidomlennya Yaksho vi hochete prochitati povidomlennya yake vi otrimali v zashifrovanomu viglyadi to pochnit pidrahunok liter a potim porahujte skilki raziv povtoryuyetsya kozhen znak Yaksho vinahidnik shifru buv duzhe uvazhnij i prihovav u povidomlenni vsi mezhi mizh slovami to pershe zavdannya polyagaye v znahodzhenni znaka sho rozdilyaye slova Ce robitsya tak Vi berete bukvu i pracyuyete z neyu vihodyachi z pripushennya sho nastupna bukva ye znakom sho dilit slova Tak Vi vivchayete vse povidomlennya z urahuvannyam riznih kombinacij bukv iz yakih mozhut buti skladeni slova Yaksho vihodit todi vse v poryadku yaksho nemaye to vi berete nastupnu za rahunkom bukvu i t d poki Vi ne zmozhete vstanoviti znak rozdilu mizh slovami Pislya cogo Vam potribno viznachiti yaki bukvi najchastishe zustrichayutsya v povidomlenni i porivnyati yih iz zrazkom chastoti narodzhennya bukv Koli Vi pobachite sho odna bukva traplyayetsya chastishe za inshi v danomu povidomlenni Vi pripuskayete sho ce bukva Alif Potim Vi pripuskayete sho nastupna po chastoti bude bukvoyu Tochnist vashogo pripushennya povinna pidtverdzhuvatisya tim faktom sho v bilshosti kontekstiv bukva Lyam sliduye za bukvoyu Alif Pershi slova yaki Vi sprobuyete rozgadati v povidomlenni povinni skladatisya z dvoh bukv Ce robitsya shlyahom ocinki najbilsh jmovirnih kombinacij bukv Vi peredplachuyete yih ekvivalenti shorazu koli voni traplyayutsya v povidomlenni Potribno zastosovuvati tochno takij zhe princip po vidnoshennyu do trohliternih sliv Vi peredplachuyete ekvivalenti z usogo povidomlennya Cej zhe princip zastosovuyetsya po vidnoshennyu do sliv sho skladayutsya iz chotiroh i p yati bukv Kozhen raz koli vinikaye yakijs sumniv potribno visloviti dva tri pripushennya abo she bilshe j vipisati kozhen z nih poki vono ne pidtverditsya na pidstavi inshogo slova Inshimi slovami Kalkashandi pochinaye viklad z togo sho kriptoanalitik maye znati movu na yakij napisana kriptograma Dali skladayetsya dokladnij opis jogo lingvistichnih harakteristik Kalkashandi vikoristovuye arabsku movu yak najblagorodnishu i najprekrasnishu z usih mov Pislya cogo navodyatsya perelik liter yaki nikoli ne mozhut stoyati razom v odnomu slovi i bukv yaki ridko z yavlyayutsya po susidstvu Rozglyadayutsya takozh literni kombinaciyi yaki v slovah zustriti nemozhlivo Ostannim jde spisok liter u poryadku chastoti yih vikoristannya v arabskij movi u svitli rezultativ vivchennya svyashennogo Koranu Avtor navit zaznachaye sho v tvorah ne pov yazanih z Koranom chastota vikoristannya mozhe buti inshoyu Kalkashandi naviv priklad rozkrittya shifru deshifrovana kriptograma skladayetsya iz dvoh virshovanih ryadkiv zashifrovanih za dopomogoyu umovnih simvoliv Na zakinchennya Kalkashandi zaznachiv sho visim bukv ne bulo vikoristano i sho ce same ti bukvi yaki znahodyatsya v kinci pereliku skladenogo za chastotoyu poyavi Vin pidkresliv Odnak ce prosta vipadkovist litera mozhe buti postavlena ne na te misce yake vona povinna zajmati u vishezgadanomu pereliku Tak Kalkashandi priviv naochnij priklad vikoristannya statistichnogo analizu tekstu shifruvannya povidomlen Primitno sho danij metod uspishno zastosovuyetsya v rozshifrovci povidomlen zashifrovanih metodom vikoristannya odnogo alfavitu monoalfavitnij metod po cej den ale vin ne ye kriptostijkim PrimitkiBengt Beckman 2002 R Rashed 1994 R Rashed 1996 s 378 Lyle D Broemeling 2011 s 255 257 V V Grebennikov 2012 I Yu Krachkovskij 1957 Kahn D 1967 Novye Grani 2012 LiteraturaBeckman Bengt Codebreakers Arne Beurling and the Swedish Crypto Program During World War II 9 veresnya 2018 u Wayback Machine The Mathematical Intelligencer 2002 ISBN 0 8218 2889 4 angl Roshdi Rashed The Development of Arabic Mathematics Between Arithmetic and Algebra The Mathematical Intelligencer 1994 ISBN 0 7923 2565 6 angl Roshdi Rashed Combinational analysis numerical analysis Diophantine analysis and number theory 29 veresnya 2020 u Wayback Machine Taken from Encyclopedia of the History of Arabic Science Volume 2 Mathematics and the Physical Sciences The Mathematical Intelligencer 1996 ISBN 0 4151 2411 5 angl Broemeling Lyle D An Account of Early Statistical Inference in Arab Cryptology 29 veresnya 2020 u Wayback Machine Journal The American Statistician 2011 angl Grebennikov V V Istoriya kriptologiyi amp sekretnogo zv yazku Istoriya kriptologii amp sekretnoj svyazi 9 veresnya 2018 u Wayback Machine 2012 ukr I Yu Krachkovskij Izbrannye sochineniya T IV Arabskaya geograficheskaya literatura 18 zhovtnya 2015 u Wayback Machine Vostochnaya literatura 1957 ISBN 5 02 018380 6 rus New York Charles Scribner s Sons 1967 ISBN 0 684 83130 9 angl NOVYJ SVET registracionnyj nomer zhurnala PI 77 17225 2012 S 42 rus