У математиці ознаку порівняння, яку іноді називають прямою ознакою порівняння, щоб відрізняти її від подібних споріднених ознак (особливо ознака граничного порівняння), забезпечує спосіб доведення збіжності або розбіжності нескінченного ряду або невласного інтегралу. В обох випадках ознака працює, порівнюючи даний ряд або інтеграл із рядом або інтегралом, властивості збіжності яких відомі.
Для рядів
У диференціальному та інтегральному численні ознака порівняння для рядів зазвичай складається з пари тверджень про нескінченні ряди з невід'ємними (дійсними) членами:
- Якщо нескінченний ряд
є збіжним i
для всіх досить великих
(тобто для всіх
для деякого фіксованого значення
), то нескінченний ряд
також є збіжним.
- Якщо нескінченний ряд
є розбіжним і
для всіх достатньо великих
то нескінченний ряд
також є розбіжним.
Зауважимо, що ряди з більшими членами іноді називаються домінантними (або частково домінантними) відносно рядів з меншими членами. Як варіант ознаку можна сформулювати у термінах абсолютної збіжності, і в цьому випадку її також застосовують для рядів із комплексними членами:
- Якщо нескінченний ряд
є абсолютно збіжним і
для всіх достатньо великих
, то нескінченний ряд
теж є абсолютно збіжним.
- Якщо нескінченний ряд
не є абсолютно збіжним і
для всіх достатньо великих
, то нескінченний ряд
теж не є абсолютно збіжним.
Зауважимо, що в цьому останньому твердженні ряд все ще може бути умовно збіжним; для дійснозначних рядів також може трапитися, якщо не всі
є невід'ємними.
Друга пара тверджень еквівалентна першій у випадку дійснозначних рядів, тому що ряд є абсолютно збіжним тоді і тільки тоді, коли ряд
(ряд з невід'ємними членами) є збіжним.
Доведення
Доведення всіх наведених вище тверджень є подібними. Наведемо тут доведення третього твердження.
Нехай та
— нескінченні ряди такі, що ряд
є абсолютно збіжний (таким чином, ряд
збіжний) і [en] вважаємо, що
для всіх додатних натуральних
.
Розглянемо часткові суми .
Оскільки ряд абсолютно збіжний, то
для деякого дійсного числа
. Для всіх
:
Послідовність — неспадна, а послідовність
— незростаюча. Нехай
, тоді
та
належать інтервалу
, довжина якого
прямує до нуля при
. Це показує, що
є послідовністю Коші, і тому вона є збіжною. Таким чином, ряд
є абсолютно збіжним.
Для інтегралів
Ознаку порівняння для інтегралів можна сформулювати наступним чином: для неперервних дійснозначних функцій і
, заданих на проміжку
, вважаємо, що або
дорівнює
, або ж дійсному числу, при якому кожна з функції
та
мають вертикальну асимптоту:
- Якщо невласний інтеграл
є збіжним і
для
, тоді невласний інтеграл
також є збіжним, причому
- Якщо невласний інтеграл
є розбіжним і
для
, тоді невласний інтеграл
також є розбіжним.
Ознака порівняння відношень
Інша ознака збіжності дійснозначних рядів подібна як до прямої порівняльної ознаки розглянутої вище, так і до ознаки д'Аламбера, називається ознакою порівняння відношень:
- Якщо нескінченний ряд
є збіжним,
,
i
для всіх достатньо великих
, тоді нескінченний ряд
також є збіжним.
- Якщо нескінченний ряд
є розбіжним,
,
i
для всіх достатньо великих
, тоді нескінченний ряд
також є розбіжним.
Див. також
Нотатки
- Ayres & Mendelson (1999), p. 401.
- Munem & Foulis (1984), p. 662.
- Silverman (1975), p. 119.
- Buck (1965), p. 140.
- Buck (1965), p. 161.
Джерела
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
- Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). Schaum's Outline of Calculus (вид. 4th). New York: McGraw-Hill. ISBN .
- Advanced Calculus (вид. 2nd). New York: McGraw-Hill. 1965.
- Infinite Sequences and Series. New York: Dover Publications. 1956. § 3.1. ISBN .
- Munem, M. A.; Foulis, D. J. (1984). Calculus with Analytic Geometry (вид. 2nd). Worth Publishers. ISBN .
- Silverman, Herb (1975). Complex Variables. Houghton Mifflin Company. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici oznaku porivnyannya yaku inodi nazivayut pryamoyu oznakoyu porivnyannya shob vidriznyati yiyi vid podibnih sporidnenih oznak osoblivo oznaka granichnogo porivnyannya zabezpechuye sposib dovedennya zbizhnosti abo rozbizhnosti neskinchennogo ryadu abo nevlasnogo integralu V oboh vipadkah oznaka pracyuye porivnyuyuchi danij ryad abo integral iz ryadom abo integralom vlastivosti zbizhnosti yakih vidomi Dlya ryadivU diferencialnomu ta integralnomu chislenni oznaka porivnyannya dlya ryadiv zazvichaj skladayetsya z pari tverdzhen pro neskinchenni ryadi z nevid yemnimi dijsnimi chlenami Yaksho neskinchennij ryad bn displaystyle sum b n ye zbizhnim i 0 an bn displaystyle 0 leq a n leq b n dlya vsih dosit velikih n displaystyle n tobto dlya vsih n gt N displaystyle n gt N dlya deyakogo fiksovanogo znachennya N displaystyle N to neskinchennij ryad an displaystyle sum a n takozh ye zbizhnim Yaksho neskinchennij ryad bn displaystyle sum b n ye rozbizhnim i 0 bn an displaystyle 0 leq b n leq a n dlya vsih dostatno velikih n displaystyle n to neskinchennij ryad an displaystyle sum a n takozh ye rozbizhnim Zauvazhimo sho ryadi z bilshimi chlenami inodi nazivayutsya dominantnimi abo chastkovo dominantnimi vidnosno ryadiv z menshimi chlenami Yak variant oznaku mozhna sformulyuvati u terminah absolyutnoyi zbizhnosti i v comu vipadku yiyi takozh zastosovuyut dlya ryadiv iz kompleksnimi chlenami Yaksho neskinchennij ryad bn displaystyle sum b n ye absolyutno zbizhnim i an bn displaystyle a n leq b n dlya vsih dostatno velikih n displaystyle n to neskinchennij ryad an displaystyle sum a n tezh ye absolyutno zbizhnim Yaksho neskinchennij ryad bn displaystyle sum b n ne ye absolyutno zbizhnim i bn an displaystyle b n leq a n dlya vsih dostatno velikih n displaystyle n to neskinchennij ryad an displaystyle sum a n tezh ne ye absolyutno zbizhnim Zauvazhimo sho v comu ostannomu tverdzhenni ryad an displaystyle sum a n vse she mozhe buti umovno zbizhnim dlya dijsnoznachnih ryadiv takozh mozhe trapitisya yaksho ne vsi an displaystyle a n ye nevid yemnimi Druga para tverdzhen ekvivalentna pershij u vipadku dijsnoznachnih ryadiv tomu sho ryad cn displaystyle sum c n ye absolyutno zbizhnim todi i tilki todi koli ryad cn displaystyle sum c n ryad z nevid yemnimi chlenami ye zbizhnim DovedennyaDovedennya vsih navedenih vishe tverdzhen ye podibnimi Navedemo tut dovedennya tretogo tverdzhennya Nehaj an displaystyle sum a n ta bn displaystyle sum b n neskinchenni ryadi taki sho ryad bn displaystyle sum b n ye absolyutno zbizhnij takim chinom ryad bn displaystyle sum b n zbizhnij i en vvazhayemo sho an bn displaystyle a n leq b n dlya vsih dodatnih naturalnih n displaystyle n Rozglyanemo chastkovi sumi Sn a1 a2 an Tn b1 b2 bn displaystyle begin aligned S n a 1 a 2 dots a n quad T n b 1 b 2 dots b n end aligned Oskilki ryad bn displaystyle sum b n absolyutno zbizhnij to limn Tn T displaystyle lim limits n to infty T n T dlya deyakogo dijsnogo chisla T displaystyle T Dlya vsih n displaystyle n 0 Sn a1 a2 an a1 an bn 1 Sn T Tn T displaystyle begin aligned 0 leq S n amp a 1 a 2 dots a n leq a 1 dots a n b n 1 dots amp S n T T n leq T end aligned Poslidovnist Sn displaystyle S n nespadna a poslidovnist Sn T Tn displaystyle S n T T n nezrostayucha Nehaj m n gt N displaystyle m n gt N todi Sn displaystyle S n ta Sm displaystyle S m nalezhat intervalu SN SN T TN displaystyle S N S N T T N dovzhina yakogo T TN displaystyle T T N pryamuye do nulya pri N displaystyle N to infty Ce pokazuye sho Sn n 1 2 displaystyle S n n 1 2 dots ye poslidovnistyu Koshi i tomu vona ye zbizhnoyu Takim chinom ryad an displaystyle sum a n ye absolyutno zbizhnim Dlya integralivOznaku porivnyannya dlya integraliv mozhna sformulyuvati nastupnim chinom dlya neperervnih dijsnoznachnih funkcij f displaystyle f i g displaystyle g zadanih na promizhku a b displaystyle a b vvazhayemo sho abo b displaystyle b dorivnyuye displaystyle infty abo zh dijsnomu chislu pri yakomu kozhna z funkciyi f displaystyle f ta g displaystyle g mayut vertikalnu asimptotu Yaksho nevlasnij integral abg x dx displaystyle displaystyle int a b g x rm d x ye zbizhnim i 0 f x g x displaystyle 0 leq f x leq g x dlya a x lt b displaystyle a leq x lt b todi nevlasnij integral abf x dx displaystyle displaystyle int a b f x rm d x takozh ye zbizhnim prichomu abf x dx abg x dx displaystyle int a b f x rm d x leq int a b g x rm d x Yaksho nevlasnij integral abg x dx displaystyle displaystyle int a b g x rm d x ye rozbizhnim i 0 g x f x displaystyle 0 leq g x leq f x dlya a x lt b displaystyle a leq x lt b todi nevlasnij integral abf x dx displaystyle displaystyle int a b f x rm d x takozh ye rozbizhnim Oznaka porivnyannya vidnoshenInsha oznaka zbizhnosti dijsnoznachnih ryadiv podibna yak do pryamoyi porivnyalnoyi oznaki rozglyanutoyi vishe tak i do oznaki d Alambera nazivayetsya oznakoyu porivnyannya vidnoshen Yaksho neskinchennij ryad bn displaystyle sum b n ye zbizhnim an gt 0 displaystyle a n gt 0 bn gt 0 displaystyle b n gt 0 i an 1an bn 1an displaystyle frac a n 1 a n leq frac b n 1 a n dlya vsih dostatno velikih n displaystyle n todi neskinchennij ryad an displaystyle sum a n takozh ye zbizhnim Yaksho neskinchennij ryad bn displaystyle sum b n ye rozbizhnim an gt 0 displaystyle a n gt 0 bn gt 0 displaystyle b n gt 0 i an 1an bn 1an displaystyle frac a n 1 a n geq frac b n 1 a n dlya vsih dostatno velikih n displaystyle n todi neskinchennij ryad an displaystyle sum a n takozh ye rozbizhnim Div takozhOznaki zbizhnosti Zbizhnij ryad Teorema Lebega pro mazhorovanu zbizhnist Integralna oznaka Koshi Maklorena Granichna oznaka porivnyannya Teorema Levi pro monotonnu zbizhnistNotatkiAyres amp Mendelson 1999 p 401 Munem amp Foulis 1984 p 662 Silverman 1975 p 119 Buck 1965 p 140 Buck 1965 p 161 DzherelaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr Ayres Frank Jr Mendelson Elliott 1999 Schaum s Outline of Calculus vid 4th New York McGraw Hill ISBN 0 07 041973 6 Advanced Calculus vid 2nd New York McGraw Hill 1965 Infinite Sequences and Series New York Dover Publications 1956 3 1 ISBN 0 486 60153 6 Munem M A Foulis D J 1984 Calculus with Analytic Geometry vid 2nd Worth Publishers ISBN 0 87901 236 6 Silverman Herb 1975 Complex Variables Houghton Mifflin Company ISBN 0 395 18582 3