Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теоре ма Лежа ндра про три квадра ти стверджує що натуральне число можна подати сумою трьох квадратів цілих чисел n x2 y

Теорема Лежандра про три квадрати

Теорема Лежандра про три квадрати

Теоре́ма Лежа́ндра про три квадра́ти стверджує, що натуральне число можна подати сумою трьох квадратів цілих чисел

тоді й лише тоді, коли n не можна подати у вигляді , де a і b цілі.

Зокрема, числами не подаваними сумою трьох квадратів і подаваними у вигляді є

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71 … послідовність A004215 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Історія

П'єр Ферма дав критерій подаваності чисел вигляду image сумою трьох квадратів, але не навів доведення. [de] помітив 1774 року, що будь-яке натуральне число, не подаване у формі image і у формі image, є сумою не більше трьох квадратів, але не надав задовільного доведення. 1796 року Гаусс довів що будь-яке натуральне число є сумою не більше трьох трикутних чисел. З цього випливає, що image — сума не більше трьох квадратів. У 1797 або 1798 році Лежандр отримав перше доведення теореми про три квадрати. 1813 року Коші помітив, що теорема Лежандра еквівалентна наведеному вище формулюванню. Раніше, 1801 року Гаусс отримав загальніший результат, наслідком якого була теорема Лежандра. Зокрема, Гаусс порахував число розв'язків цілочисельного рівняння трьох квадратів, і одночасно навів узагальнення ще одного результату Лежандра, доведення якого було неповним. Це, ймовірно, стало причиною помилкових заяв, що доведення Лежандра було неповним і завершив його Гаусс.

Теорема Лагранжа про суму чотирьох квадратів і теорема про три квадрати дають повне вирішення проблеми Воринга для k = 2.

Доведення

Доказ того, що числа image не подавані сумою трьох квадратів нескладне і випливає з того, що будь-який квадрат за модулем 8 дорівнює 0, 1 або 4.

Крім доведення Лежандра існує кілька доведень того, що інші числа подавані сумою трьох квадратів. Класичним стало доведення Діріхле 1850 року, в основі якого лежать три леми:

Зв'язок з теоремою про чотири квадрати

Гаусс зазначив, що теорема про три квадрати дозволяє легко довести теорему про чотири квадрати. Однак доведення теореми про три квадрати значно складніше від прямого доведення теореми про чотири квадрати, яка доведено першою 1770 року.

Див. також

Примітки

  1. Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, publ. 1776), pp. 313–369.
  2. [en], History of the theory of numbers, vol. II, p. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, reprint).
  3. A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, An VI (1797—1798), P. and pp. 398–399.
  4. A. L. Cauchy, Mém. Sci. Math. Phys. de l'Institut de France, (1) 14 (1813—1815), 177.
  5. C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Art. 291 et 292.
  6. A.-M. Legendre, Hist. et Mém. Acad. Roy. Sci. Paris, 1785, pp. 514–515.
  7. Смотри, например: Elena Deza and M. Deza. Figurate numbers. World Scientific 2011, p. 314
  8. vol. I, parts I, II and III of : Ландау, Vorlesungen über Zahlentheorie, New York, Chelsea, 1927. Second edition translated into English by Jacob E. Goodman, Providence RH, Chelsea, 1958.
  9. Gauss, Carl Friedrich (1965), Disquisitiones Arithmeticae, Yale University Press, с. 342, section 293, ISBN 

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Teore ma Lezha ndra pro tri kvadra ti stverdzhuye sho naturalne chislo mozhna podati sumoyu troh kvadrativ cilih chisel n x2 y2 z2 displaystyle n x 2 y 2 z 2 todi j lishe todi koli n ne mozhna podati u viglyadi n 4a 8b 7 displaystyle n 4 a 8b 7 de a i b cili Zokrema chislami ne podavanimi sumoyu troh kvadrativ i podavanimi u viglyadi n 4a 8b 7 displaystyle n 4 a 8b 7 ye 7 15 23 28 31 39 47 55 60 63 71 poslidovnist A004215 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS IstoriyaP yer Ferma dav kriterij podavanosti chisel viglyadu 3n 1 displaystyle 3n 1 sumoyu troh kvadrativ ale ne naviv dovedennya de pomitiv 1774 roku sho bud yake naturalne chislo ne podavane u formi 8b 7 displaystyle 8b 7 i u formi 4b displaystyle 4b ye sumoyu ne bilshe troh kvadrativ ale ne nadav zadovilnogo dovedennya 1796 roku Gauss doviv sho bud yake naturalne chislo ye sumoyu ne bilshe troh trikutnih chisel Z cogo viplivaye sho 8n 3 displaystyle 8n 3 suma ne bilshe troh kvadrativ U 1797 abo 1798 roci Lezhandr otrimav pershe dovedennya teoremi pro tri kvadrati 1813 roku Koshi pomitiv sho teorema Lezhandra ekvivalentna navedenomu vishe formulyuvannyu Ranishe 1801 roku Gauss otrimav zagalnishij rezultat naslidkom yakogo bula teorema Lezhandra Zokrema Gauss porahuvav chislo rozv yazkiv cilochiselnogo rivnyannya troh kvadrativ i odnochasno naviv uzagalnennya she odnogo rezultatu Lezhandra dovedennya yakogo bulo nepovnim Ce jmovirno stalo prichinoyu pomilkovih zayav sho dovedennya Lezhandra bulo nepovnim i zavershiv jogo Gauss Teorema Lagranzha pro sumu chotiroh kvadrativ i teorema pro tri kvadrati dayut povne virishennya problemi Voringa dlya k 2 DovedennyaDokaz togo sho chisla n 4a 8b 7 displaystyle n 4 a 8b 7 ne podavani sumoyu troh kvadrativ neskladne i viplivaye z togo sho bud yakij kvadrat za modulem 8 dorivnyuye 0 1 abo 4 Krim dovedennya Lezhandra isnuye kilka doveden togo sho inshi chisla podavani sumoyu troh kvadrativ Klasichnim stalo dovedennya Dirihle 1850 roku v osnovi yakogo lezhat tri lemi kvadratichnij zakon vzayemnosti teorema Dirihle pro prosti chisla v arifmetichnij progresiyi klas ekvivalentnosti trivialnoyi trichlennoyi kvadratichnoyi formi Zv yazok z teoremoyu pro chotiri kvadratiGauss zaznachiv sho teorema pro tri kvadrati dozvolyaye legko dovesti teoremu pro chotiri kvadrati Odnak dovedennya teoremi pro tri kvadrati znachno skladnishe vid pryamogo dovedennya teoremi pro chotiri kvadrati yaka dovedeno pershoyu 1770 roku Div takozhTeorema pro sumu dvoh kvadrativ Teorema Ferma pro sumu dvoh kvadrativPrimitkiNouveaux Memoires de l Academie de Berlin 1774 publ 1776 pp 313 369 en History of the theory of numbers vol II p 15 Carnegie Institute of Washington 1919 AMS Chelsea Publ 1992 reprint A M Legendre Essai sur la theorie des nombres Paris An VI 1797 1798 P and pp 398 399 A L Cauchy Mem Sci Math Phys de l Institut de France 1 14 1813 1815 177 C F Gauss Disquisitiones Arithmeticae Art 291 et 292 A M Legendre Hist et Mem Acad Roy Sci Paris 1785 pp 514 515 Smotri naprimer Elena Deza and M Deza Figurate numbers World Scientific 2011 p 314 vol I parts I II and III of Landau Vorlesungen uber Zahlentheorie New York Chelsea 1927 Second edition translated into English by Jacob E Goodman Providence RH Chelsea 1958 Gauss Carl Friedrich 1965 Disquisitiones Arithmeticae Yale University Press s 342 section 293 ISBN 0 300 09473 6

Дата публікації:
Топ