Дериваційні формули Вейнгартена

Дериваційні формули Вайнґартена — формули, що показують зв'язок між похідною одиничного вектора нормалі двовимірної поверхні з першими похідними радіус-вектора цієї поверхні. Встановлені ^[de] (1861).

Якщо ${\displaystyle {\bar {r}}={\bar {r}}(u,v)}$ — радіус-вектор поверхні, ${\displaystyle {\bar {n}}}$ — одиничний вектор нормалі, а ${\displaystyle E,F,G}$ і ${\displaystyle L,M,N}$ — коефіцієнти відповідно першої і другої квадратичних форм поверхні, то дані формули мають вигляд:

${\displaystyle {\bar {n}}_{u}={\frac {FM-GL}{EG-F^{2}}}{\bar {r}}_{u}+{\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}}{\bar {r}}_{v}}$

і

${\displaystyle {\bar {n}}_{v}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}}{\bar {r}}_{u}+{\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}{\bar {r}}_{v}}$

Компактно можна записати використовуючи індексний запис

${\displaystyle \partial _{a}\mathbf {n} =K_{a}^{~b}\mathbf {r} _{b},}$

де K_ab — це компоненти тензора кривини поверхні.

Література

• Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956. (рос.)