Теорія Бранса — Дікке

Біметричні теорії гравітації — альтернативні теорії гравітації, в яких замість одного метричного тензора використовують два або більше. Часто друга метрика вводиться лише за високих енергій, із припущенням, що швидкість світла може залежати від енергії. Найвідомішими прикладами біметричних теорій є теорія Розена та релятивістська теорія гравітації (остання — в канонічному трактуванні).

Двовимірні моделі розширюють загальну теорію відносності, щоб точно пояснити природу темної матерії та темної енергії

Сюди перенаправляється запит «Теорія Бранса — Дікке». На цю тему потрібна окрема стаття.

Біметрична теорія Розена

У загальній теорії відносності передбачається, що відстань між двома точками у просторі-часі визначається метричним тензором. Для розрахунку форми метрики виходячи з розподілу енергії використовують рівняння Ейнштейна.

Натан Розен (1940) запропонував у кожній точці простору-часу ввести на додаток до ріманового метричного тензора ${\displaystyle g_{ij}}$ евклідів метричний тензор ${\displaystyle \gamma _{ij}}$. Таким чином, у кожній точці простору-часу ми отримуємо дві метрики:

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$

${\displaystyle d\sigma ^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}$

Перший метричний тензор ${\displaystyle g_{ij}}$ описує геометрію простору-часу і, отже, гравітаційне поле. Другий метричний тензор ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ стосується плоского простору-часу та описує інерційні сили. Символи Крістоффеля, сформовані з ${\displaystyle g_{ij}}$ і ${\displaystyle \gamma _{ij}}$, позначимо ${\displaystyle \{_{jk}^{i}\}}$ і ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ відповідно. ${\displaystyle \Delta }$ визначимо так, щоб

${\displaystyle \Delta _{jk}^{i}=\{_{jk}^{i}\}-\Gamma _{jk}^{i}~~~~~~~~~~~~~~(1)}$

Тепер виникають два види коваріантного диференціювання: ${\displaystyle g}$-диференціювання, засноване на ${\displaystyle g_{ij}}$ — позначають крапкою з комою (;), та 3-диференціювання на основі ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ — позначають символом / (звичайні часткові похідні позначають комою (,)). ${\displaystyle R_{ij\sigma }^{\lambda }}$ і ${\displaystyle P_{ij\sigma }^{\lambda }}$ будуть тензорами кривини, що розраховуються з ${\displaystyle g_{ij}}$ і ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ відповідно. На основі викладеного вище підходу, тоді, коли ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ описує плоску просторово-часову метрику, тензор кривини ${\displaystyle P_{ij\sigma }^{\lambda }}$ дорівнює нулю.

З (1) випливає, що хоча ${\displaystyle \{_{jk}^{i}\}}$ і ${\displaystyle \Gamma }$ не є тензорами, але ${\displaystyle \Delta }$ — тензор, що має таку ж форму, як ${\displaystyle \{_{jk}^{i}\}}$, за винятком того, що звичайна часткова похідна замінюється 3-коваріантною похідною. Простий розрахунок приводить до

${\displaystyle R_{ijk}^{h}=-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}}$

Кожен член у правій стороні цього співвідношення є тензором. Видно, що від загальної теорії відносності можна перейти до нової теорії, замінивши ${\displaystyle \{_{jk}^{i}\}}$ на ${\displaystyle \Delta }$, звичайне диференціювання на 3-коваріантне диференціювання, ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$ на ${\displaystyle {\sqrt {\frac {g}{\gamma }}}}$, елемент інтегрування ${\displaystyle d^{4}x}$ на ${\displaystyle {\sqrt {-\gamma }}d^{4}x}$, де ${\displaystyle g=det(g_{ij})}$, ${\displaystyle \gamma =det(\gamma _{ij})}$ і ${\displaystyle d^{4}x=dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}}$. Як тільки ми ввели ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ в теорію, то в нашому розпорядженні виявляється багато нових тензорів та скалярів. Отже, можна отримати рівняння поля, відмінні від рівнянь поля Ейнштейна.

Рівняння для геодезичної в біметричній теорії відносності (БТВ) набуває форми

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}+\Gamma _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}+\Delta _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}=0~~~~~~~~~~~~~~(2)}$

З рівнянь (1) і (2) видно, що можна вважати, що ${\displaystyle \Gamma }$ описує інерційне поле, оскільки ${\displaystyle \Gamma }$ зникає внаслідок відповідного перетворення координат. Властивість же ${\displaystyle \Delta }$ бути тензором не залежить від будь-яких систем координат, і, отже, можна вважати, що ${\displaystyle \Delta }$ визначає постійне гравітаційне поле.

Розен (1973) знайшов біметричні теорії, які задовольняють принципу еквівалентності. 1966 року Розен показав, що запровадження плоскої просторової метрики в межах загальної теорії відносності не лише дозволяє отримати щільність енергії-імпульсу тензора гравітаційного поля, але й дозволяє отримати цей тензор із варіаційного принципу. Рівняння поля у БТВ, отримане з варіаційного принципу

${\displaystyle K_{j}^{i}=N_{j}^{i}-{\frac {1}{2}}\delta _{j}^{i}N=-8\pi \kappa T_{j}^{i}~~~~~~~~~~~~~~(3)}$

де

${\displaystyle N_{j}^{i}={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }(g^{hi}g_{hj/\alpha })_{/\beta }}$

або

${\displaystyle N_{j}^{i}=\gamma ^{\alpha \beta }\left\{(g^{hi}g_{hj,\alpha }),\beta -(g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}),\beta \right\}-\gamma ^{\alpha \beta }(\Gamma _{j\alpha }^{i}),\beta +\Gamma _{\lambda \beta }^{i}[g^{h\lambda }g_{hj},\alpha -g^{h\lambda }g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{j\alpha }^{\lambda }]-\Gamma _{j\beta }^{\lambda }[g^{hi}g_{h\lambda },\alpha -g^{hi}g_{m\lambda }\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{\lambda \alpha }^{i}]}$

${\displaystyle +\Gamma _{\alpha \beta }^{\lambda }[g^{hi}g_{hj},\lambda -g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\lambda }^{m}-\Gamma _{j\lambda }^{i}]}$

${\displaystyle N=g^{ij}N_{ij},\kappa ={\sqrt {\frac {g}{\gamma }}},}$

і ${\displaystyle T_{j}^{i}}$ — тензор енергії-імпульсу. Варіаційний принцип приводить також до зв'язку

${\displaystyle T_{j;i}^{i}=0.}$

Тому з (3)

${\displaystyle K_{j;i}^{i}=0,}$

що має на увазі, що пробна частинка в гравітаційному полі рухається геодезичною відносно ${\displaystyle g_{ij}}$. Фізичні наслідки такої теорії, втім, не відрізняються від загальної теорії відносності.

За іншого вибору початкових рівнянь біметричні теорії та ЗТВ відрізняються в таких випадках:

• Поширення електромагнітних хвиль.
• Зовнішнє поле зір високої густини.
• Поширення інтенсивних гравітаційних хвиль через сильне статичне гравітаційне поле.

Релятивістська теорія гравітації

Докладніше: Релятивістська теорія гравітації

Посилання

• N. Rosen. General Relativity and Flat Space. I // Phys. Rev. : журнал. — 1940. — Vol. 57, no. 2. — P. 147—150. — DOI:10.1103/PhysRev.57.147.
• N. Rosen. General Relativity and Flat Space. II // Phys. Rev. : журнал. — 1940. — Vol. 57, no. 2. — P. 150—153. — DOI:10.1103/PhysRev.57.150.
• N. Rosen. A bi-metric theory of gravitation //  : журнал. — 1973. — Vol. 4, no. 6. — P. 435—447. — DOI:10.1007/BF01215403.^{[недоступне посилання з березня 2020]}
• N. Rosen. A bi-metric theory of gravitation. II //  : журнал. — 1975. — Vol. 6, no. 3. — P. 259—268. — DOI:10.1007/BF00751570.^{[недоступне посилання з березня 2020]}