Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

У математиці класифікацією простих скінченних груп називають теорему згідно з якою будь яка скінченна проста група належ

Класифікація простих скінченних груп

Класифікація простих скінченних груп

У математиці класифікацією простих скінченних груп називають теорему, згідно з якою будь-яка скінченна проста група належить до одного з описаних нижче класів. Ці класи можна розглядати як елементарні будівельні блоки, з яких побудовані всі скінченні групи, таким же чином, як прості числа є «цеглинами», з яких побудовані всі натуральні числа. Теорема Жордана — Гьольдера є більш математично чітким виразом цього принципу.

Доведення теореми про класифікацію займає десятки тисяч сторінок, і складається з кількох сотень окремих статей, опублікованих, переважно, між 1955 і 2004 роками. Горенстейн, Ліонс і Соломон опублікували між 1994 і 2005 роками переглянуті й спрощені версії доказів.

Положення теореми про класифікацію

Кожна скінченна проста група є ізоморфною одній з наступних груп:

Теорема про класифікацію має застосування в багатьох галузях математики, через те, що багато питань, що стосуються скінченних груп, можуть бути зведені до простих скінченних груп. Завдяки теоремі про класифікацію, на ці питання можна знайти відповідь, перебравши усі типи простих скінченних груп.

Історія

Перші прості скінченні групи були знайдені ще Галуа, творцем теорії груп — він відкрив знакозмінні групи, а також проєктивну групу рангу 2, а в 60-х роках XIX століття Матьє відкрив перші п'ять спорадичних груп, проте до початку XX століття математики вважали класифікацію всіх скінченних груп нездійсненною мрією. Утім, у першій половині XX століття, з розвитком інструментів дослідження груп, ситуація змінилася. Важливим етапом у цьому стала про те, що існує лише скінченна кількість простих груп із заданим централізатором інволюції. Ще важливішою була , що була доведена в 1962 році й стверджувала, що будь-яка некомутативна проста група містить парну кількість елементів — фактично, вона частково розв'язала проблему класифікації, а саме, показала, що всі прості групи з непарною кількістю елементів є групою лишків за простим модулем.

В 1972 році [en]запропонував програму з 16 пунктів, виконання якої дозволило б побудувати повну класифікацію груп. Завдяки скоординованим зусиллям великої кількості математиків, що взялися за доведення цих окремих пунктів, вже до кінця 1970-х практично вся ця програма була виконана. У 1980 році Горенстейн оголосив про остаточне доведення теореми про класифікацію. На той час, сукупний об'єм усіх доведень займав щонайменше 15000 сторінок.Проте, ще деякий час після цього з'являлися доповнення і уточнення до цієї теореми, так, Р. Грісс — молодший відкрив останню спорадичну групу, що носить назву група-монстр і має порядок приблизно 8×1053, лише в 1982 році, а ще через деякий час з'ясувалося, що класифікація не включає в себе [en]. Цю прогалину заповнив Ашенбах у 2004 році своїм 1200-сторінковим доведенням.

У 1982 році Горенстейн започаткував нову велику програму по ревізії теореми про класифікацію, для знаходження коротшого й простішого доведення. Ця робота тривала і в XXI столітті. Спрощена форма доведення ще не написана до кінця, але, ймовірно, буде займати менше 10 000 сторінок.

Детальний список класів простих груп

Нескінченні класи

  • Групи лишків за простим модулем Zp
  • Знакозмінні групи Altn, парні перестановки n літер
  • Лінійні (групи Шевалле) An(q), n>1 або q<3
  • Симплектичні групи Шевалле Cn(q), n>2
  • Ортогональні групи Шевалле
    • Bn(q), n>2 або q>2
    • Dn(q), n>3
  • Виняткові групи Шевалле
    • G2(q), q>1
    • F4(q)
    • E6(q)
    • E7(q)
    • E8(q)
  • Групи Стейнберга
    • 2An(q), n>2 або q>2
    • 2Dn(q), n>3
    • [en]
    • [en]
  • Групи Судзукі 2B2(q), q=2m, m непарне, m>1
  • Групи Рі 2G2(q), q=3m, m непарне, m>1
  • 2F4(q), q=2m, m непарне, [для q=2, 2F4(2)']

Спорадичні групи

Докладніше: Спорадична група
Група Число елементів
Групи Матьє
M11 24×32×5×11 = 7 920
M12 26×33×5×11 = 95 040
M22 27×32×5×7×11 = 443 520
M23 27×32×5×7×11×23 = 10 200 960
M24 210×33×5×7×11×23 = 244 823 040
Групи Янко
J1 23×3×5×7×11×19 = 175 560
J2 27×33×52×7 = 604 800
J3 27×35×5×17×19 = 50 232 960
J4 221×33×5×7×113×23×29×31×37×43 ≈ 8,68×1019
Група Хигмена–Сімса HS 29×32×53×7×11 = 44 352 000
Група Маклафліна Mc 27×36×53×7×11 = 898 128 000
Спорадична група Судзукі Suz 213×37×52×7×11×13 ≈ 4,48×1011
Група Рудваліса Ru 214×33×53×7×13×29 ≈ 1,46×1011
Група Хелда He 210×33×52×73×17 ≈ 4 030 387 200
Група Лайенса Ly 28×37×56×7×11×31×37×67 ≈ 5,18×1016
Група О'Нена ON 29×34×5×73×11×19×31 ≈ 4,61×1011
Групи Конвея
C1 221×39×54×72×11×13×23 ≈ 4,16×1018
C2 218×36×53×7×11×23 ≈ 4,23×1013
C3 210×37×53×7×11×23 ≈ 4,96×1011
Групи Фішера
F22 217×39×52×7×11×13 ≈ 6,46×1013
F23 218×313×52×7×11×13×17×23 ≈ 4,09×1018
F24 221×316×52×73×11×13×17×23×29 ≈ 1,26×1024
Група Харади F5 214×36×56×7×11×19 ≈ 2,73×1014
Група Томпсона F3 215×310×53×72×13×19×31 ≈ 9,07×1016
Група Фішера F2 («монстреня») 241×313×56×72×11×13×17×19×23×31×47 ≈ 4,15×1033
Група Фішера–Грісса F1 («монстр», «дружній велетень») 246×320×59×76×112×133×17×19×23×29×31×41×47×59×71 ≈ 8,08×1053

Доведення другого покоління

Доведення, що було практично завершене близько 1985 року, можна назвати доведенням першого покоління. Через надзвичайну його довжину, багато зусиль було покладене на те, щоб знайти нове, простіше доведення, що отримало назву доведення другого покоління. Рух, що мав на меті знайти це доведення, отримав назву «ревізіонізм», і також був започаткований Горенстейном. Шість томів нового доведення були випущені у 1994, 1996, 1998, 1999, 2002 і 2005 роках. У 2012 році оцінив ще невипущену частину доведення у 5 томів. Таким чином, загальний об'єм доведення другого покоління буде займати приблизно 5000 сторінок, не рахуючи двох томів Ашенбаха і Сміта присвячених квазітонким групам.

Горенстейн і його група вказує наступні причини, чому простіше доведення можливе:

  • Найбільш важливим є те, що відоме кінцеве твердження, що доводиться. Доки теорема про класифікацію не була доведена, не було відомо, скільки саме спорадичних груп існує, а отже, саме її формулювання не було відоме, що значно ускладнювало роботу. Як результат — різні частини теореми доводилися за допомогою різних технік, хоча могли бути генералізовані.
  • Деякі зі спеціальних випадків, що у доведенні першого покоління описувалися окремими теоремами, можуть бути об'єднані, і доведені більш загальним способом. Недоліком цього є те, що загальне доведення може бути складнішим для сприйняття, ніж кожне окреме.
  • Багато теорем з доведення першого покоління перекриваються, через те, що кордони між різними класами груп були проведені не найдоцільнішим чином. Перевизначення цих класів дозволить обійтися розглядом меншої кількості випадків.
  • Математики, що займаються теорією груп стали більш досвідченими і мають більшу кількість інструментів для такої роботи.

Завершеність доведення

Хоча наразі доведення теореми про класифікацію вважається завершеним і коректним, деякі математики, в тому числі і ті, хто доклав великих зусиль для її доведення, як, наприклад, Ашбахер, вважають, що не можна бути абсолютно впевненим, що не існує ніякої спорадичної групи, яка була пропущена в цьому доведенні. Загалом, наразі не всі роботи, що складають доведення теореми, є фактично опублікованими.

Примітки

  1. The Classi cation of Finite Simple Groups [ 9 Вересня 2016 у Wayback Machine.](англ.)
  2. Грандиозная теорема [ 2 Лютого 2017 у Wayback Machine.](рос.)
  3. Математика XX века. Взгляд из Петербурга [ 2 Лютого 2017 у Wayback Machine.](рос.)
  4. The Classification of Quasithin Groups: II. Main Theorems: The Classification of Simple QTKE-groups [ 29 Липня 2017 у Wayback Machine.](англ.)
  5. The lassification of the Finite Simple Groups [ 2 лютого 2017 у Wayback Machine.](англ.)
  6. Whither Mathematics? [ 2 Лютого 2017 у Wayback Machine.](англ.)

Додаткові джерела

  • Атлас скінченних груп [ 19 Квітня 2017 у Wayback Machine.]

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

U matematici klasifikaciyeyu prostih skinchennih grup nazivayut teoremu zgidno z yakoyu bud yaka skinchenna prosta grupa nalezhit do odnogo z opisanih nizhche klasiv Ci klasi mozhna rozglyadati yak elementarni budivelni bloki z yakih pobudovani vsi skinchenni grupi takim zhe chinom yak prosti chisla ye ceglinami z yakih pobudovani vsi naturalni chisla Teorema Zhordana Goldera ye bilsh matematichno chitkim virazom cogo principu Dovedennya teoremi pro klasifikaciyu zajmaye desyatki tisyach storinok i skladayetsya z kilkoh soten okremih statej opublikovanih perevazhno mizh 1955 i 2004 rokami Gorenstejn Lions i Solomon opublikuvali mizh 1994 i 2005 rokami pereglyanuti j sprosheni versiyi dokaziv Polozhennya teoremi pro klasifikaciyuKozhna skinchenna prosta grupa ye izomorfnoyu odnij z nastupnih grup Ciklichna grupa Zn prostogo poryadku cej i dva nastupnih klasi vklyuchayut v sebe neskinchennu kilkist grup Znakozminna grupa perestanovok An ne mensh yak 5 elementiv Prosti grupi Li Odna z 26 sporadichnih grup en yaka inodi vvazhayetsya 27 yu sporadichnoyu grupoyu Teorema pro klasifikaciyu maye zastosuvannya v bagatoh galuzyah matematiki cherez te sho bagato pitan sho stosuyutsya skinchennih grup mozhut buti zvedeni do prostih skinchennih grup Zavdyaki teoremi pro klasifikaciyu na ci pitannya mozhna znajti vidpovid perebravshi usi tipi prostih skinchennih grup IstoriyaPershi prosti skinchenni grupi buli znajdeni she Galua tvorcem teoriyi grup vin vidkriv znakozminni grupi a takozh proyektivnu grupu rangu 2 a v 60 h rokah XIX stolittya Matye vidkriv pershi p yat sporadichnih grup prote do pochatku XX stolittya matematiki vvazhali klasifikaciyu vsih skinchennih grup nezdijsnennoyu mriyeyu Utim u pershij polovini XX stolittya z rozvitkom instrumentiv doslidzhennya grup situaciya zminilasya Vazhlivim etapom u comu stala pro te sho isnuye lishe skinchenna kilkist prostih grup iz zadanim centralizatorom involyuciyi She vazhlivishoyu bula sho bula dovedena v 1962 roci j stverdzhuvala sho bud yaka nekomutativna prosta grupa mistit parnu kilkist elementiv faktichno vona chastkovo rozv yazala problemu klasifikaciyi a same pokazala sho vsi prosti grupi z neparnoyu kilkistyu elementiv ye grupoyu lishkiv za prostim modulem V 1972 roci en zaproponuvav programu z 16 punktiv vikonannya yakoyi dozvolilo b pobuduvati povnu klasifikaciyu grup Zavdyaki skoordinovanim zusillyam velikoyi kilkosti matematikiv sho vzyalisya za dovedennya cih okremih punktiv vzhe do kincya 1970 h praktichno vsya cya programa bula vikonana U 1980 roci Gorenstejn ogolosiv pro ostatochne dovedennya teoremi pro klasifikaciyu Na toj chas sukupnij ob yem usih doveden zajmav shonajmenshe 15000 storinok Prote she deyakij chas pislya cogo z yavlyalisya dopovnennya i utochnennya do ciyeyi teoremi tak R Griss molodshij vidkriv ostannyu sporadichnu grupu sho nosit nazvu grupa monstr i maye poryadok priblizno 8 1053 lishe v 1982 roci a she cherez deyakij chas z yasuvalosya sho klasifikaciya ne vklyuchaye v sebe en Cyu progalinu zapovniv Ashenbah u 2004 roci svoyim 1200 storinkovim dovedennyam U 1982 roci Gorenstejn zapochatkuvav novu veliku programu po reviziyi teoremi pro klasifikaciyu dlya znahodzhennya korotshogo j prostishogo dovedennya Cya robota trivala i v XXI stolitti Sproshena forma dovedennya she ne napisana do kincya ale jmovirno bude zajmati menshe 10 000 storinok Detalnij spisok klasiv prostih grupNeskinchenni klasi Grupi lishkiv za prostim modulem Zp Znakozminni grupi Altn parni perestanovki n liter Linijni grupi Shevalle An q n gt 1 abo q lt 3 Simplektichni grupi Shevalle Cn q n gt 2 Ortogonalni grupi Shevalle Bn q n gt 2 abo q gt 2 Dn q n gt 3 Vinyatkovi grupi Shevalle G2 q q gt 1 F4 q E6 q E7 q E8 q Grupi Stejnberga 2An q n gt 2 abo q gt 2 2Dn q n gt 3 en en Grupi Sudzuki 2B2 q q 2m m neparne m gt 1 Grupi Ri 2G2 q q 3m m neparne m gt 1 2F4 q q 2m m neparne dlya q 2 2F4 2 Sporadichni grupi Dokladnishe Sporadichna grupa Grupa Chislo elementivGrupi MatyeM11 24 32 5 11 7 920M12 26 33 5 11 95 040M22 27 32 5 7 11 443 520M23 27 32 5 7 11 23 10 200 960M24 210 33 5 7 11 23 244 823 040Grupi YankoJ1 23 3 5 7 11 19 175 560J2 27 33 52 7 604 800J3 27 35 5 17 19 50 232 960J4 221 33 5 7 113 23 29 31 37 43 8 68 1019Grupa Higmena Simsa HS 29 32 53 7 11 44 352 000Grupa Maklaflina Mc 27 36 53 7 11 898 128 000Sporadichna grupa Sudzuki Suz 213 37 52 7 11 13 4 48 1011Grupa Rudvalisa Ru 214 33 53 7 13 29 1 46 1011Grupa Helda He 210 33 52 73 17 4 030 387 200Grupa Lajensa Ly 28 37 56 7 11 31 37 67 5 18 1016Grupa O Nena ON 29 34 5 73 11 19 31 4 61 1011Grupi KonveyaC1 221 39 54 72 11 13 23 4 16 1018C2 218 36 53 7 11 23 4 23 1013C3 210 37 53 7 11 23 4 96 1011Grupi FisheraF22 217 39 52 7 11 13 6 46 1013F23 218 313 52 7 11 13 17 23 4 09 1018F24 221 316 52 73 11 13 17 23 29 1 26 1024Grupa Haradi F5 214 36 56 7 11 19 2 73 1014Grupa Tompsona F3 215 310 53 72 13 19 31 9 07 1016Grupa Fishera F2 monstrenya 241 313 56 72 11 13 17 19 23 31 47 4 15 1033Grupa Fishera Grissa F1 monstr druzhnij veleten 246 320 59 76 112 133 17 19 23 29 31 41 47 59 71 8 08 1053Dovedennya drugogo pokolinnyaDovedennya sho bulo praktichno zavershene blizko 1985 roku mozhna nazvati dovedennyam pershogo pokolinnya Cherez nadzvichajnu jogo dovzhinu bagato zusil bulo pokladene na te shob znajti nove prostishe dovedennya sho otrimalo nazvu dovedennya drugogo pokolinnya Ruh sho mav na meti znajti ce dovedennya otrimav nazvu revizionizm i takozh buv zapochatkovanij Gorenstejnom Shist tomiv novogo dovedennya buli vipusheni u 1994 1996 1998 1999 2002 i 2005 rokah U 2012 roci ociniv she nevipushenu chastinu dovedennya u 5 tomiv Takim chinom zagalnij ob yem dovedennya drugogo pokolinnya bude zajmati priblizno 5000 storinok ne rahuyuchi dvoh tomiv Ashenbaha i Smita prisvyachenih kvazitonkim grupam Gorenstejn i jogo grupa vkazuye nastupni prichini chomu prostishe dovedennya mozhlive Najbilsh vazhlivim ye te sho vidome kinceve tverdzhennya sho dovoditsya Doki teorema pro klasifikaciyu ne bula dovedena ne bulo vidomo skilki same sporadichnih grup isnuye a otzhe same yiyi formulyuvannya ne bulo vidome sho znachno uskladnyuvalo robotu Yak rezultat rizni chastini teoremi dovodilisya za dopomogoyu riznih tehnik hocha mogli buti generalizovani Deyaki zi specialnih vipadkiv sho u dovedenni pershogo pokolinnya opisuvalisya okremimi teoremami mozhut buti ob yednani i dovedeni bilsh zagalnim sposobom Nedolikom cogo ye te sho zagalne dovedennya mozhe buti skladnishim dlya sprijnyattya nizh kozhne okreme Bagato teorem z dovedennya pershogo pokolinnya perekrivayutsya cherez te sho kordoni mizh riznimi klasami grup buli provedeni ne najdocilnishim chinom Pereviznachennya cih klasiv dozvolit obijtisya rozglyadom menshoyi kilkosti vipadkiv Matematiki sho zajmayutsya teoriyeyu grup stali bilsh dosvidchenimi i mayut bilshu kilkist instrumentiv dlya takoyi roboti Zavershenist dovedennyaHocha narazi dovedennya teoremi pro klasifikaciyu vvazhayetsya zavershenim i korektnim deyaki matematiki v tomu chisli i ti hto doklav velikih zusil dlya yiyi dovedennya yak napriklad Ashbaher vvazhayut sho ne mozhna buti absolyutno vpevnenim sho ne isnuye niyakoyi sporadichnoyi grupi yaka bula propushena v comu dovedenni Zagalom narazi ne vsi roboti sho skladayut dovedennya teoremi ye faktichno opublikovanimi PrimitkiThe Classi cation of Finite Simple Groups 9 Veresnya 2016 u Wayback Machine angl Grandioznaya teorema 2 Lyutogo 2017 u Wayback Machine ros Matematika XX veka Vzglyad iz Peterburga 2 Lyutogo 2017 u Wayback Machine ros The Classification of Quasithin Groups II Main Theorems The Classification of Simple QTKE groups 29 Lipnya 2017 u Wayback Machine angl The lassification of the Finite Simple Groups 2 lyutogo 2017 u Wayback Machine angl Whither Mathematics 2 Lyutogo 2017 u Wayback Machine angl Dodatkovi dzherelaAtlas skinchennih grup 19 Kvitnya 2017 u Wayback Machine

Дата публікації:
Топ