Розкриття невизначеностей — методи обчислення границь функцій, заданих формулами, які внаслідок формальної підстановки в них граничних значень аргументу втрачають сенс, тобто переходять у вирази на зразок:
(Тут — нескінченно мала величина, а — нескінченно велика величина)
за якими неможливо з'ясувати, існують чи ні шукані границі, не кажучи вже про знаходження їх значень, якщо вони існують.
Найпотужнішим методом є правило Лопіталя, однак і воно не у всіх випадках дозволяє обчислити границю. До того ж безпосередньо його можна застосувати тільки до другого і третього з перерахованих типів невизначеностей, тобто відношень, і щоб розкрити інші типи, їх треба спочатку звести до одного з цих.
Також для обчислення границь часто використовують розкладання виразів, що входять у досліджувану невизначеність, у ряд Тейлора в околі граничної точки. Для розкриття невизначеностей типів , , користуються таким прийомом: знаходять границю (натурального) логарифма виразу, що містить дану невизначеність. Як наслідок, тип невизначеності змінюється. Після знаходження границі від неї беруть експоненту.
Для розкриття невизначеностей типу використовують такий алгоритм:
- Виявлення старшого степеня змінної;
- Ділення на цю змінну як чисельника, так і знаменника.
Для розкриття невизначеностей типу існує такий алгоритм:
- Розкладання на множники чисельника і знаменника;
- Скорочення дробу.
Для розкриття невизначеностей типу іноді зручно застосувати таке перетворення:
- нехай і ;
- .
Невизначеності цього типу можна розкрити з використанням асимптотичних розкладів зменшуваного і від'ємника, при цьому нескінченно великі члени одного порядку мають знищуватися.
При розкритті невизначеностей також застосовуються та їх наслідки.
Приклад
— приклад невизначеності типу . За правилом Лопіталя . Другий спосіб — додати і відняти в чисельнику і двічі застосувати теорему Лагранжа, до функцій і відповідно:
тут c, d лежать між a і x, тому вони прямують до a при x, що прямує до a, звідси отримуємо ту ж границю, що й у першому способі.
Джерела
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Примітки
- Демидович Б.П. Задача №1358 // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 7-е изд. — М. : Наука, 1969. — С. 136.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rozkrittya neviznachenostej metodi obchislennya granic funkcij zadanih formulami yaki vnaslidok formalnoyi pidstanovki v nih granichnih znachen argumentu vtrachayut sens tobto perehodyat u virazi na zrazok displaystyle left infty infty right displaystyle left frac infty infty right 00 displaystyle left frac 0 0 right 0 displaystyle left 0 cdot infty right 00 displaystyle left 0 0 right 0 displaystyle left infty 0 right 1 displaystyle left 1 infty right Tut 0 displaystyle 0 neskinchenno mala velichina a displaystyle infty neskinchenno velika velichina za yakimi nemozhlivo z yasuvati isnuyut chi ni shukani granici ne kazhuchi vzhe pro znahodzhennya yih znachen yaksho voni isnuyut Najpotuzhnishim metodom ye pravilo Lopitalya odnak i vono ne u vsih vipadkah dozvolyaye obchisliti granicyu Do togo zh bezposeredno jogo mozhna zastosuvati tilki do drugogo i tretogo z pererahovanih tipiv neviznachenostej tobto vidnoshen i shob rozkriti inshi tipi yih treba spochatku zvesti do odnogo z cih Takozh dlya obchislennya granic chasto vikoristovuyut rozkladannya viraziv sho vhodyat u doslidzhuvanu neviznachenist u ryad Tejlora v okoli granichnoyi tochki Dlya rozkrittya neviznachenostej tipiv 00 displaystyle left 0 0 right 1 displaystyle left 1 infty right 0 displaystyle left infty 0 right koristuyutsya takim prijomom znahodyat granicyu naturalnogo logarifma virazu sho mistit danu neviznachenist Yak naslidok tip neviznachenosti zminyuyetsya Pislya znahodzhennya granici vid neyi berut eksponentu 00 e0 ln 0 e0 displaystyle left 0 0 right left e 0 cdot ln 0 right left e 0 cdot infty right 1 e ln 1 e 0 displaystyle left 1 infty right left e infty cdot ln 1 right left e infty cdot 0 right 0 e0 ln e0 displaystyle left infty 0 right left e 0 cdot ln infty right left e 0 cdot infty right Dlya rozkrittya neviznachenostej tipu displaystyle frac infty infty vikoristovuyut takij algoritm Viyavlennya starshogo stepenya zminnoyi Dilennya na cyu zminnu yak chiselnika tak i znamennika Dlya rozkrittya neviznachenostej tipu 00 displaystyle left frac 0 0 right isnuye takij algoritm Rozkladannya na mnozhniki chiselnika i znamennika Skorochennya drobu Dlya rozkrittya neviznachenostej tipu displaystyle infty infty inodi zruchno zastosuvati take peretvorennya nehaj f x x a displaystyle f x xrightarrow x to a infty i g x x a displaystyle g x xrightarrow x to a infty limx a f x g x limx a 11f x 11g x limx a1g x 1f x 1g x 1f x 00 displaystyle lim x to a f x g x infty infty lim x to a left frac 1 frac 1 f x frac 1 frac 1 g x right lim x to a frac frac 1 g x frac 1 f x frac 1 g x cdot frac 1 f x left frac 0 0 right Neviznachenosti cogo tipu mozhna rozkriti z vikoristannyam asimptotichnih rozkladiv zmenshuvanogo i vid yemnika pri comu neskinchenno veliki chleni odnogo poryadku mayut znishuvatisya Pri rozkritti neviznachenostej takozh zastosovuyutsya ta yih naslidki Prikladlimx aax xax a a gt 0 displaystyle lim x to a frac a x x a x a a gt 0 priklad neviznachenosti tipu 00 displaystyle left frac 0 0 right Za pravilom Lopitalya limx aax xax a limx aaxln a axa 11 aa ln a 1 displaystyle lim x to a frac a x x a x a lim x to a frac a x ln a ax a 1 1 a a ln a 1 Drugij sposib dodati i vidnyati v chiselniku aa displaystyle a a i dvichi zastosuvati teoremu Lagranzha do funkcij ax displaystyle a x i xa displaystyle x a vidpovidno ax xax a ax aa xa aa x a acln a x a ada 1 x a x a acln a ada 1 displaystyle frac a x x a x a frac a x a a x a a a x a frac a c ln a x a ad a 1 x a x a a c ln a ad a 1 tut c d lezhat mizh a i x tomu voni pryamuyut do a pri x sho pryamuye do a zvidsi otrimuyemo tu zh granicyu sho j u pershomu sposobi DzherelaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr PrimitkiDemidovich B P Zadacha 1358 Sbornik zadach i uprazhnenij po matematicheskomu analizu 7 e izd M Nauka 1969 S 136