SLERP

В комп'ютерній графіці, SLERP (spherical linear interpolation) — лінійна інтерполяція на сфері, що використовується для анімації обертання з постійною кутовою швидкістю за допомогою кватерніонів.

Геометрична інтерпретація

SLERP має геометричну інтерпретацію незалежну від кватерніонів та розмірності простору. Вона базується на тому, що довільна точка на кривій повинна представлятись у вигляді лінійної комбінації кінців кривої. Якщо простором, в якому беруться точки, буде сфера, то геодезичний відрізок, який їх з'єднує буде не евклідовим відрізком (він не належить сфері), а буде дугою великого кола на сфері.

Якщо p₀ та p₁ початок і кінець дуги, а t параметр, 0 ≤ t ≤ 1.

Обчислимо Ω — кут дуги, отримаємо cos Ω = p₀ ∙ p₁, n-вимірний скалярний добуток одиничних векторів. Отримаємо формулу

${\displaystyle \mathrm {Slerp} (p_{0},\,p_{1},\,t)={\frac {\sin {(1-t)\Omega }}{\sin \Omega }}p_{0}+{\frac {\sin t\Omega }{\sin \Omega }}p_{1}.}$

Вона симетрична відносно кінців дуги Slerp(p₀,p₁,t) = Slerp(p₁,p₀,1−t).

Якщо ${\displaystyle \Omega }$ — дуже маленький кут, настільки, що можуть виникнути помилки при діленні на ${\displaystyle \sin \Omega }$, тому можна використовувати звичайну лінійну інтерполяцію (оскільки при маленьких значеннях ${\displaystyle \Omega \colon \ \sin(\Omega )\approx \Omega ,\ \sin(t*\Omega )\approx t*\Omega }$, і так далі).

Запис за допомогою кватерніонів

Докладніше: Кватерніони і повороти простору

Записавши одиничний кватерніон у вигляді q = cos Ω + v sin Ω, де v тривимірний одиничний вектор, отримаємо q ^t = cos tΩ + v sin tΩ.

записавши q = q₁q⁻¹
₀, отримаємо

${\displaystyle \ \mathrm {Slerp} (q_{0},q_{1};t)}$	${\displaystyle =q_{0}^{1-t}q_{1}^{t}}$
	${\displaystyle =q_{0}(q_{0}^{-1}q_{1})^{t}}$
	${\displaystyle =q_{1}(q_{1}^{-1}q_{0})^{1-t}}$
	${\displaystyle =(q_{0}q_{1}^{-1})^{1-t}q_{1}}$
	${\displaystyle =(q_{1}q_{0}^{-1})^{t}q_{0}}$

Використовується лінійна залежність між кутом повороту і степенем кватерніона.

Посилання

• Відео з порівнянням Slerp та лінійної інтерполяції