ADE-класифікація

${\displaystyle ADE}$-класифікація — повний список однониткових діаграм Динкіна — діаграм, в яких відсутні кратні ребра, що відповідає простим кореням в системі коренів, що створює кути ${\displaystyle \pi /2}$ (відсутність ребра між вершинами) або ${\displaystyle 2\pi /3}$ (одиночне ребро між вершинами). Список складається з:

Однониткові діаграми Динкіна класифікують різні математичні об'єкти.

${\displaystyle A_{n},\,D_{n},\,E_{6},\,E_{7},\,E_{8}}$.

Список містить дві з чотирьох родин діаграм Динкіна (не входять ${\displaystyle B_{n}}$ і ${\displaystyle C_{n}}$) і три з п'яти виняткових діаграм Динкіна (не входять ${\displaystyle F_{4}}$ і ${\displaystyle G_{2}}$).

Список не є надмірним, якщо прийняти ${\displaystyle n\geqslant 4}$ для ${\displaystyle D_{n}}$. Якщо розширити родини, то виходять виняткові ізоморфізми [en]

${\displaystyle D_{3}\cong A_{3},E_{4}\cong A_{4},E_{5}\cong D_{5},}$

і відповідні ізоморфізми об'єктів, що класифікуються.

Питання про створення спільного початку такої класифікації (а не виявлення паралелей досвідним шляхом) був поставлений Арнольдом в доповіді «Проблеми сучасної математики».

Класи ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ включають також однониткові скінченні групи Коксетера з тими ж діаграмами — в цьому випадку діаграми Динкіна в точності збігаються з діаграмами Коксетера, оскільки немає кратних ребер.

Примітки

1. Arnold, 1976.

Література

• Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. — 1972. — (Элементы математики)
• Vladimir Arnold. Mathematical developments arising from Hilbert problems. — 1976. — Т. 28. (Problem VIII. The A-D-E classifications).
• Leonard E. Dickson. Algebraic Theories. — 1959.
• P.J. Cameron, J.M. Goethals, J.J. Seidel, E. E. Shult. Line graphs, root systems and elliptic geometry // Journal of Algebra. — 1976. — Вип. 43.
• Pablo Martin, David Singerman. From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball. — 17/04/2008.
• John F. Duncan. Groups and symmetries: from Neolithic Scots to John McKay. — 2009. — Т. 47. — .
• Bertram Kostant. The Graph of the Truncated Icosahedron and the Last Letter of Galois. — 1995. — Т. 42. См. The Embedding of PSl(2, 5) into PSl(2, 11) and Galois’ Letter to Chevalier.
• Lieven le Bruyn. Galois’ last letter : [ 15 серпня 2010]. — 2008.
• Michiel Hazewinkel, Hesseling, JD. Siersma, F. Veldkamp. The ubiquity of Coxeter Dynkin diagrams. (An introduction of the A-D-E problem) // Nieuw Archief v. Wiskunde. — 1977. — Т. 35, вип. 3. — С. 257–307.
• John McKay. Graphs, singularities and finite groups // Proc. Symp. Pure Math.. — Amer. Math. Soc., 1980. — Т. 37. — С. 183-,265-.
• John McKay. The Geometric Vein, Coxeter Festschrift. — Berlin, 1982. — С. 549–.
• Victor G. Kac. Infinite-Dimensional Lie Algebras. — Cambridge, 1990. — .
• John McKay. A Rapid Introduction to ADE Theory. — 01/01/2001.
• R. A. Proctor. Two Amusing Dynkin Diagram Graph Classifications // The American Mathematical Monthly. — 1993. — Т. 100, вип. 10. — ISSN 0002-9890. — DOI:10.2307/2324217. — JSTOR 2324217.
• J. McKay, Abdellah Sebbar. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry, II. — 2007. — DOI:10.1007/978-3-540-30308-4_10.
• R. Stekolshchik. Notes on Coxeter Transformations and the McKay Correspondence. — 2008. — . — DOI:10.1007/978-3-540-77398-3.
• Godsil Chris, Gordon Royle. Algebraic Graph Theory. — 2001. — Т. 207. — . Chapter 12
• Lieven le Bruyn. Arnold’s trinities. — 2008—2.
• Lieven le Bruyn. Arnold’s trinities version 2.0. — 2008—3.
• Lieven le Bruyn. the monster graph and McKay’s observation : [ 14 серпня 2010]. — 2009.
• Joris van Hoboken. Platonic solids, binary polyhedral groups, Kleinian singularities and Lie algebras of type A,D,E : [ 26 квітня 2012]. — 2002.