Число Коксетера

Число Коксетера  — характеристика скінченної звідної групи Коксетера. У разі, коли група Коксетера є групою Вейля простої алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, то говорять про число Коксетера алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Поняття названо на честь Гарольда Коксетера.

Означення

Існує кілька еквівалентних означень цього числа.

• Число Коксетера дорівнює кількості коренів, поділеній на ранг. Еквівалентно, число Коксетера рівно подвоєному числу віддзеркалень в групі Коксетера, діленому на ранг. Якщо група побудована за простою алгеброю Лі, то розмірність цієї алгебри дорівнює n(h + 1), де n — ранг, і h — число Коксетера.
• Елементом Коксетера (інколи елементом Кіллінга — Коксетера) називається добуток всіх простих відображень (не плутати з елементом групи Коксетера найбільшої довжини). Числом Коксетера називається порядок елемента Коксетера.
• Якщо ${\displaystyle \theta =\sum m_{i}\alpha _{i}}$ — розкладання старшого кореня за простими коренями, то число Коксетер дорівнює ${\displaystyle 1+\sum m_{i}}$.
  • Еквівалентно, якщо ${\displaystyle \rho ^{\vee }}$ — такий елемент, що ${\displaystyle \langle \rho ^{\vee },\alpha _{i}\rangle =1}$, то ${\displaystyle h=\langle \rho ^{\vee },\theta \rangle +1}$.
• Число Коксетера — це найбільша з ступенів базисних інваріантів групи Коксетера.

Таблиця значень

Група Коксетера і символ Шлефлі		Граф Коксетера	Діаграма Динкіна	Число Коксетера ${\displaystyle h}$	Двійне число Коксетера ${\displaystyle h^{\vee }}$	Ступені базисних інваріантів
An	[3,3…,3]	…	…	n + 1	n + 1	2, 3, 4, …, n + 1
Bn	[4,3…,3]	…	…	2n	2n − 1	2, 4, 6, …, 2n
Cn			…		n + 1
Dn	[3,3,..3^1,1]	…	…	2n − 2	2n − 2	n; 2, 4, 6, …, 2n − 2
E6	[3^2,2,1]			12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E7	[3^3,2,1]			18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8	[3^4,2,1]			30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4	[3,4,3]			12	9	2, 6, 8, 12
G2	[6]			6	4	2, 6
H3	[5,3]		-	10		2, 6, 10
H4	[5,3,3]		-	30		2, 12, 20, 30
I2(p)	[p]		-	p		2, p

Джерела

• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы IV—VI. — М. : Мир, 1972. — С. 331. — (Елементи математики)(рос.)
• J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.
• Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monographs 58, American Mathematical Society,