Функція фон Мангольдта

Функція фон Мангольдта — арифметична функція, що визначається рівністю:

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&n=p^{k}\quad k\geq 1,\\0&n\neq p^{k}\end{cases}}}$

де p — просте число. Тобто значення функції є ненульовим лише для степенів простих чисел де значення функції рівне логарифму з відповідного простого числа.

Властивості

Функція фон Мангольдта задовольняє властивості:

${\displaystyle \log n=\sum _{d\,\mid \,n}\Lambda (d),\,}$

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu \log {\frac {n}{d}}}$

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)\log d=-\Lambda (n)\,}$

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\Lambda (d)=-\mu (n)\log n}$

де ${\displaystyle \mu }$ — функція Мебіуса.

де сума береться по всіх дільниках d числа n.

exp(Λ(n)) можна явно визначити:

${\displaystyle e^{\Lambda (n)}={\frac {\operatorname {LCM} (1,2,3,...,n)}{\operatorname {LCM} (1,2,3,...,n-1)}}}$

де ${\displaystyle {\rm {LCM}}}$ позначає найменше спільне кратне.

Значення exp(Λ(n)) для перших натуральних чисел рівне:

1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1, ... (послідовність A014963 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Функція фон Мангольдта тісно пов'язана з дзета-функцією Рімана 'Q(s). Зокрема виконується рівність:

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}}$

для ${\displaystyle \Re (s)>1}$.

Тоді логарифмічна похідна рівна:

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Посилання

• Weisstein, Eric W. Mangoldt Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Джерела

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
• G.H. Hardy and J.E. Littlewood, Acta Mathematica, 41(1916)pp.119-196