Функція Ліувіля

Функція Ліувілля — арифметична функція, що широко застосовується в теорії чисел. Названа на честь французького математика Жозефа Ліувілля. Для позначення функції переважно використовується λ(n).

Для додатного n функція Ліувілля визначається:

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},\,\!}$

де Ω(n) — кількість простих дільників числа n, разом з мультиплікативністю. Тобто якщо ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\ldots p_{k}^{\alpha _{k}},}$ то:

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{k}}\,\!}$

Перші значення функції рівні

1, −1, −1, 1, −1, 1, −1, −1, 1, 1, −1, −1, −1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1, … (послідовність A026424 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.)

Властивості

• Функція Ліувілля є цілком мультиплікативною, тобто ${\displaystyle \lambda (mn)=\lambda (m)\lambda (n),\;\forall m,n\in \mathbb {N} .}$
• ${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&n=k^{2},\;k\in \mathbb {N} \\0&{\sqrt {n}}\notin \mathbb {N} .\end{cases}}}$

де сума береться по всіх дільниках числа n.

Для доведення позначимо ${\displaystyle g(n)=\sum _{d|n}\lambda (d).}$ Тоді оскільки функція ${\displaystyle \lambda (n)}$ — мультиплікативна, то мультиплікативною є і функція g(n). Якщо ${\displaystyle n=p^{\alpha }}$ — степінь простого числа, то

${\displaystyle g(p^{\alpha })=\sum _{d|p^{\alpha }}\lambda (d)=1+\lambda (p)+\lambda (p^{2})+\ldots +\lambda (p^{\alpha })=1-1+\ldots +(-1)^{\alpha }={\begin{cases}0&n=2k,\;k\in \mathbb {N} \\1&n=2k-1,\;k\in \mathbb {N} .\end{cases}}}$

Тобто для цього випадку якщо степінь є парним, то значення функції рівне 0, непарним — 1. Якщо тепер ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}},}$ то, враховуючи мультиплікативність, ${\displaystyle g(n)=\prod _{i=1}^{k}g(p_{i}^{\alpha _{i}}).}$ Якщо хоча б одне з чисел ${\displaystyle \alpha _{i}}$ є непарним, то ${\displaystyle g(\alpha _{i})=0,}$ і також ${\displaystyle g(n)=0.}$ Число n в такому випадку не може бути квадратом. Якщо ж усі ${\displaystyle \alpha _{i}}$ є парними, то одночасно ${\displaystyle g(n)=1}$ і n є квадратом.

• ${\displaystyle \lambda ^{-1}(n)=|\mu (n)|,}$

де ${\displaystyle \lambda ^{-1}(n)}$ — (обернена Діріхле) функції ${\displaystyle \lambda (n),}$ а ${\displaystyle \mu (n)}$ — функція Мебіуса.

• Ряд Діріхле функції Ліувілля пов'язаний з Дзета-функцією Рімана формулою

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Гіпотези

Гіпотеза Пойа зроблена угорським математиком Дьордьом Пойа в 1919 році. Визначивши

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k),}$

гіпотеза стверджує, що ${\displaystyle L(n)\leq 0}$ для n > 1. Гіпотеза, проте, не є вірною. Найменший контрприклад n = 906150257, знайшов японський математик Мінору Танака в 1980 році. Згодом було доведено, що L(n) > 0.0618672√n для нескінченної кількості n, і також L(n) < -1.3892783√n для нескінченної кількості n. Визначимо також суму

${\displaystyle T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}$

Існувала також гіпотеза, що T(n) ≥ 0 для достатньо великих n ≥ n₀. Гіпотеза була спростована англійським математиком Браяном Гаселґровом у 1958 році Підтвердження цієї гіпотези привело б до доведення гіпотези Рімана.

Примітки

1. Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31—40.
2. M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, 187–189, (1980).
3. P. Borwein, R. Ferguson, and M. J. Mossinghoff, Sign Changes in Sums of the Liouville Function, Mathematics of Computation 77 (2008), no. 263, 1681–1694.
4. Haselgrove, C.B. A disproof of a conjecture of Polya. Mathematika 5 (1958), 141–145.

Посилання

1. Weisstein, Eric W. Liouville Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,