Функція Гудермана

Функція Гудермана(також гіперболічна амплітуда або гудерманіан) — спеціальна функція, що пов'язує тригонометричні і гіперболічні функції. Названа на честь німецького математика Крістофа Гудермана.

Графік функції Гудермана

Функція визначена як:

${\displaystyle {\text{gd }}x\,}$	${\displaystyle =\int _{0}^{x}{dt \over \cosh t}}$
	${\displaystyle =2\,{\text{arctg}}\left({\text{tgh }}{\frac {x}{2}}\right)}$
	${\displaystyle =2\,{\text{arctg }}e^{x}-{\pi \over 2}}$

Головні властивості

Функція Гудермана визначає зв'язок, який існує між тригонометричними і гіперболічними функціями без застосування комплексного аналізу.

${\displaystyle {\text{tgh }}{x \over 2}={\text{tg }}{{\text{gd }}x \over 2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sinh x&=&{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)\\\cosh x&=&\sec \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{tgh }}x&=&\sin \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{sech }}x&=&\cos \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{csch }}x&=&{\text{ctg}}\left({\text{gd }}x\right)\\{\text{ctgh }}x&=&\csc \left({\text{gd }}x\right)\end{array}}}$

Експоненційну функцію можна виразити через функцію Гудермана:

${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle ={\frac {1}{\cos \left({\text{gd }}x\right)}}+{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)=\sec \left({\text{gd }}x\right)+{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)}$
	${\displaystyle ={\text{tg}}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {{\text{gd }}x}{2}}\right)}$
	${\displaystyle ={\frac {1+\sin \left({\text{gd }}x\right)}{\cos \left({\text{gd }}x\right)}}}$

Похідна функції Гудермана рівна:

${\displaystyle {d \over dx}\,{\text{gd }}x={\text{sech }}x}$

Розклад в ряд Тейлора для функції Гудермана має вигляд:

${\displaystyle \operatorname {gd} (x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}-{\frac {61x^{7}}{5040}}+\dots }$

Обернена функція

Обернена функція до функції Гудермана (що позначається як ${\displaystyle {\text{arcgd }}x}$ або ${\displaystyle {\text{gd}}^{-1}x}$) рівна:

${\displaystyle {\text{arcgd }}x}$	${\displaystyle ={\text{gd}}^{-1}x=\int _{0}^{x}{dt \over \cos t}}$
	${\displaystyle ={\text{arcosh}}\left(\sec x\right)={\text{artgh}}\left(\sin x\right)}$
	${\displaystyle =\ln \left(\sec x\left(1+\sin x\right)\right)}$
	${\displaystyle =\ln \left({\text{tg }}x+\sec x\right)=\ln \left({\text{tg}}\left({\pi \over 4}+{x \over 2}\right)\right)}$
	${\displaystyle ={1 \over 2}\ln \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)={\text{artgh}}\left(\sin x\right)}$

Окрім того справедливою є рівність:

${\displaystyle i{\text{gd }}x={\text{arcgd}}\left(ix\right)}$

Похідна оберненої функції Гудермана рівна:

${\displaystyle {d \over dx}\,{\text{arcgd }}x=\sec x}$

Похідні, ряди, інтеграли

Похідні функції Гудермана і оберненої функції Гудермана дорівнюють відповідно гіперболічному і тригонометричному секансу:

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {gd} x=\operatorname {sech} x,}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcgd} x=\sec x.}$

Розвинення в ряд:

${\displaystyle \operatorname {gd} x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}-{\frac {61x^{7}}{5040}}+{\frac {277x^{9}}{72576}}+\dots ,}$

${\displaystyle \operatorname {arcgd} x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}+{\frac {61x^{7}}{5040}}+{\frac {277x^{9}}{72576}}+\dots }$

Коефіцієнти розкладу гудерманіана і антигудерманіана при членах однакового степеня збігаються за модулем, однак у членів зі степенями 3, 7, 11,... коефіцієнти розкладу гудерманіана від'ємні, а в оберненої функції — додатні.

Інтеграл функції Гудермана:

${\displaystyle \int \operatorname {gd} zdz=-{\frac {\pi }{2}}z+i\left(\operatorname {Li_{2}} (-ie^{x})-\operatorname {Li_{2}} (ie^{x})\right),}$

где Li₂ — дилогарифм.

Гудерманіан і антігудерманіан, що дозволяють легко переходити від гіперболічних до тригонометричних функцій і назад, використовуються для аналітичного інтегрування методом тригонометричної і гіперболічної підстановки.

Див. також

• Гіперболічні функції
• Тригонометричні функції

Посилання

• Weisstein, Eric W. Функція Гудермана(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.