Формули Мольвейде тригонометричні залежності що виражають відношення між довжинами сторін і значеннями кутів при вершина

Формули Мольвейде

Формули Мольвейде — тригонометричні залежності, що виражають відношення між довжинами сторін і значеннями кутів при вершинах деякого трикутника, відкриті ^[ru].

Трикутник на площині.

Опис

Формули Мольвейде виглядають так:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} \;{\frac {C}{2}}}};

{\frac {a-b}{c}}={\frac {\operatorname {sin} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {cos} \;{\frac {C}{2}}}},

де A, B, C — значення кутів при відповідних вершинах трикутника і a, b, c — довжини сторін, відповідно між вершинами B і C, C і A, A і B. Формули названо на честь німецького математика . Формули Мольвейде зручно використовувати при розв'язуванні трикутника за двома сторонами і кутом між ними^:146 і за двома кутами і прилеглою до них стороною. Аналогічні співвідношення у сферичній тригонометрії називають формулами Деламбра^:83.

Доведення

Розглянемо виведення тільки першого співвідношення, оскільки друге доводиться аналогічно.

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} \;{\frac {C}{2}}}};

З теореми синусів:

{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}

маємо:

{\frac {a}{c}}={\frac {\sin A}{\sin C}}

{\frac {b}{c}}={\frac {\sin B}{\sin C}}

звідки випливає:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}

Враховуючи (формули подвійного кута для синуса):

\sin C=2\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}

,

а також (формули для суми синусів):

\sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}

маємо:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}={\frac {\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}}

За теоремою про суму кутів трикутника:

C=\pi -(A+B)

звідки, з урахуванням (формул зведення для косинуса) випливає, що:

\cos {\frac {C}{2}}=\cos {\frac {\pi -(A+B)}{2}}=\sin {\frac {A+B}{2}}

як наслідок, маємо:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {A-B}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}}

що й потрібно було довести.

Застосування

Поділивши окремо праві й ліві частини останніх формул, відразу отримаємо теорему тангенсів

Див. також

Примітка

Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М. — Л. : , 1948. — 154 с.

Література

^[ru], Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин. Толковый словарь математических терминов, М.: Просвещение, 1965.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Formuli Molvejde trigonometrichni zalezhnosti sho virazhayut vidnoshennya mizh dovzhinami storin i znachennyami kutiv pri vershinah deyakogo trikutnika vidkriti ru Trikutnik na ploshini OpisFormuli Molvejde viglyadayut tak a b c cos A B 2 sin C 2 displaystyle frac a b c frac operatorname cos frac A B 2 operatorname sin frac C 2 a b c sin A B 2 cos C 2 displaystyle frac a b c frac operatorname sin frac A B 2 operatorname cos frac C 2 dd de A B C znachennya kutiv pri vidpovidnih vershinah trikutnika i a b c dovzhini storin vidpovidno mizh vershinami B i C C i A A i B Formuli nazvano na chest nimeckogo matematika Formuli Molvejde zruchno vikoristovuvati pri rozv yazuvanni trikutnika za dvoma storonami i kutom mizh nimi 146 i za dvoma kutami i prilegloyu do nih storonoyu Analogichni spivvidnoshennya u sferichnij trigonometriyi nazivayut formulami Delambra 83 Dovedennya Rozglyanemo vivedennya tilki pershogo spivvidnoshennya oskilki druge dovoditsya analogichno a b c cos A B 2 sin C 2 displaystyle frac a b c frac operatorname cos frac A B 2 operatorname sin frac C 2 dd Z teoremi sinusiv a sin A b sin B c sin C displaystyle frac a sin A frac b sin B frac c sin C mayemo a c sin A sin C displaystyle frac a c frac sin A sin C b c sin B sin C displaystyle frac b c frac sin B sin C zvidki viplivaye a b c sin A sin B sin C displaystyle frac a b c frac sin A sin B sin C Vrahovuyuchi formuli podvijnogo kuta dlya sinusa sin C 2 sin C 2 cos C 2 displaystyle sin C 2 sin frac C 2 cos frac C 2 a takozh formuli dlya sumi sinusiv sin A sin B 2 sin A B 2 cos A B 2 displaystyle sin A sin B 2 sin frac A B 2 cos frac A B 2 mayemo a b c sin A sin B sin C sin A B 2 cos A B 2 sin C 2 cos C 2 displaystyle frac a b c frac sin A sin B sin C frac sin frac A B 2 cos frac A B 2 sin frac C 2 cos frac C 2 Za teoremoyu pro sumu kutiv trikutnika C p A B displaystyle C pi A B zvidki z urahuvannyam formul zvedennya dlya kosinusa viplivaye sho cos C 2 cos p A B 2 sin A B 2 displaystyle cos frac C 2 cos frac pi A B 2 sin frac A B 2 yak naslidok mayemo a b c cos A B 2 sin C 2 displaystyle frac a b c frac cos frac A B 2 sin frac C 2 sho j potribno bulo dovesti ZastosuvannyaPodilivshi okremo pravi j livi chastini ostannih formul vidrazu otrimayemo teoremu tangensivDiv takozhRozv yazuvannya trikutnikiv Trigonometriya Teorema tangensiv Trigonometrichni totozhnosti Trigonometrichna funkciyaPrimitkaStepanov N N Sfericheskaya trigonometriya M L 1948 154 s Literatura ru Yu K Solncev Yu I Sorkin N G Fedin Tolkovyj slovar matematicheskih terminov M Prosveshenie 1965

Дата публікації: Липень 18, 2024, 15:15 pm