Формула Дирихле для числа дільників — асимптотична формула
де — число дільників , — постійна Ейлера — Маськероні, а — O-велике.
Формула була отримана Діріхле в 1849.
Доведення
Доказ негайно випливає з того факту, що вказана сума дорівнює числу цілих точок з цілими позитивними координатами в області, обмеженою гіперболою та осями координат.
Уточнення
В 1906 році доданок був уточнений Серпінським до , тобто . Зараз існують кращі оцінки. Найкращий відомий результат (отримано у 2003 р. Хакслі). Однак, найменше значення , при якому ця формула залишиться вірною, невідоме (доведено, що воно не менше, ніж ).
При цьому середній дільник великого числа n в середньому росте як , що було виявлено А. Карацубою. З комп'ютерних оцінок М. Корольова.
Примітки
- Аналітична теорія чисел[недоступне посилання з жовтня 2019]
- А. А. Бухштаб. Теорія чисел. — М. : Просвіта, 1966.
- Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- В. І Арнольд. Динаміка, статистика та проективна геометрія полів Галуа. — М. : МЦНМО, 2005. — С. 70.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Formula Dirihle dlya chisla dilnikiv asimptotichna formula n N t n N ln N 2 g 1 N O N displaystyle sum n leqslant N tau n N ln N 2 gamma 1 N O sqrt N de t n displaystyle tau n chislo dilnikiv n displaystyle n g displaystyle gamma postijna Ejlera Maskeroni a O displaystyle O O velike Formula bula otrimana Dirihle v 1849 DovedennyaDokaz negajno viplivaye z togo faktu sho vkazana suma dorivnyuye chislu cilih tochok z cilimi pozitivnimi koordinatami v oblasti obmezhenoyu giperboloyu y x N displaystyle yx N ta osyami koordinat UtochnennyaV 1906 roci dodanok O N 8 displaystyle O left N theta right buv utochnenij Serpinskim do O N 3 displaystyle O sqrt 3 N tobto 8 1 3 displaystyle theta 1 3 Zaraz isnuyut krashi ocinki Najkrashij vidomij rezultat 8 131 416 displaystyle theta frac 131 416 otrimano u 2003 r Haksli Odnak najmenshe znachennya 8 displaystyle theta pri yakomu cya formula zalishitsya virnoyu nevidome dovedeno sho vono ne menshe nizh 1 4 displaystyle frac 1 4 Pri comu serednij dilnik velikogo chisla n v serednomu roste yak c 1 n ln n displaystyle frac c 1 n sqrt ln n sho bulo viyavleno A Karacuboyu Z komp yuternih ocinok M Korolovac 1 1 p p p 3 2 p 1 ln 1 1 p 0 713 8067 displaystyle c 1 frac 1 pi prod p left frac p 3 2 sqrt p 1 ln left 1 frac 1 p right right approx 0 7138067 PrimitkiAnalitichna teoriya chisel nedostupne posilannya z zhovtnya 2019 A A Buhshtab Teoriya chisel M Prosvita 1966 Weisstein Eric W Dirichlet Divisor Problem angl na sajti Wolfram MathWorld V I Arnold Dinamika statistika ta proektivna geometriya poliv Galua M MCNMO 2005 S 70 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi