Форма об'єму

Форма об'єму — диференціальна форма найвищої розмірності на гладкому многовиді (тобто ${\displaystyle n}$-форма на ${\displaystyle n}$-мірному многовиді), яка не обнуляється ні в одній точці.

Форма об'єму дозволяє визначити інтеграл функції на многовиді. Іншими словами, форма об'єму задає міру, за якою можна інтегрувати функції.

Властивості

• Гладкий многовид має форму об'єму тоді і тільки тоді, коли він орієнтовний.
• На многовиді з формою об'єму ${\displaystyle \omega }$, дивергенцію векторного поля ${\displaystyle X}$ можна визначити за допомогою наступних тотожностей:

  ${\displaystyle (\operatorname {div} X)\cdot \omega ={\mathcal {L}}_{X}\omega =d(X\;\lrcorner \;\omega )}$

де ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ позначає похідну Лі за ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle d}$ — зовнішній диференціал, а ${\displaystyle X\;\lrcorner \;\omega }$ — операцію підстановки ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle \omega }$.

Література

• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, Reading, Massachusetts: W.A. Benjamin, Inc., ISBN .