Транспонована матриця матриця A T displaystyle A T що виникає з матриці A displaystyle A в результаті унарної операції т

Транспонована матриця — матриця $A^{T}$ , що виникає з матриці $A$ в результаті унарної операції транспонування: заміни її рядків на стовпчики.

Формально, транспонована матриця $\ A^{T}=(b_{ij})$ для матриці $\ A=(a_{ij})$ визначається як

\ b_{ij}=a_{ji},\quad i={\overline {1,n}},\quad j={\overline {1,m}}.

Наприклад:

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}

та

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}

Властивості

$\ (A^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }=A$ — операція транспонування є інволюцією.
$\ (rA)^{\mathrm {T} }=rA^{\mathrm {T} }$
$\ (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }$ — транспонування є лінійним відображення матриць розміру m×n в матриці розміру n×m.
$\ (AB)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }$
$\ (A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }$
$\ \det A=\det A^{T}$
Власні значення $\ A^{T}$ збігаються з власними значеннями $\ A$ .
Якщо елементи матриці $\ A$ є дійсними, то матриця $A^{\mathrm {T} }A$ — є невід'ємноозначеною матрицею.

Пов’язані означення

Квадратна матриця, котра після транспонування переходить сама у себе, називається симетричною матрицею

\ A^{\mathrm {T} }=A

Квадратна матриця, котра після транспонування переходить в негативну матрицю, називається кососиметричною матрицею

\ A^{\mathrm {T} }=-A

Матриця транспонована, з елементами заміненими на їх комплексне спряження називається спряженою матрицею відносно початкової матриці

A^{*}=({\overline {A}})^{T}={\overline {A^{T}}}

Див. також

Джерела

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)