Теорема про три перпендикуляри

Теоре́ма про три перпендикуля́ри — фундаментальна теорема стереометрії.

Формулювання

Пряма, проведена в площині через основу похилої, перпендикулярна до її проєкції на цю площину, перпендикулярна й до самої похилої.

Доведення

Нехай ${\displaystyle AB}$ — перпендикуляр до площини ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle AC}$ — похила і ${\displaystyle c}$ — пряма в площині ${\displaystyle \alpha }$, що проходить через точку ${\displaystyle C}$ і перпендикулярна проєкції ${\displaystyle BC}$. Проведемо пряму ${\displaystyle CK}$ паралельно до прямої ${\displaystyle AB}$. Пряма ${\displaystyle CK}$ перпендикулярна до площини ${\displaystyle \alpha }$ (оскільки вона паралельна до ${\displaystyle AB}$), а значить, і до будь-якої прямої в цій площині, отже, ${\displaystyle CK}$ перпендикулярна до прямої ${\displaystyle c}$. Проведемо через паралельні прямі ${\displaystyle AB}$ і ${\displaystyle CK}$ площину ${\displaystyle \beta }$ (паралельні прямі визначають площину, причому тільки одну). Пряма ${\displaystyle c}$ перпендикулярна до двох прямих у площині ${\displaystyle \beta }$, що перетинаються, це ${\displaystyle BC}$ за умовою і ${\displaystyle CK}$ за побудовою, отже, вона перпендикулярна і до будь-якої прямої, що належить цій площині, отже, перпендикулярна й до прямої ${\displaystyle AC}$.

Теорема, обернена до теореми про три перпендикуляри

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до самої похилої, то вона перпендикулярна і до її проєкції.

Доведення

Нехай АВ — перпендикуляр до площини α, АС — похила і c — пряма в площині α, що проходить через основу похилої C. Проведемо пряму СК, паралельно до прямої АВ. Пряма СК перпендикулярна до площини α (за цією теоремою, оскільки вона паралельна до АВ), а отже й до будь-якої прямої в цій площині, отже, СК перпендикулярна до прямої c. Проведемо через паралельні прямі АВ і СК площину β (паралельні прямі визначають площину, причому тільки одну). Пряма c перпендикулярна до двох прямих, що лежать у площині β, це АС за умовою і СК, отже, вона перпендикулярна і до будь-якої прямої, що належить цій площині, отже, перпендикулярна й до прямої ВС. Іншими словами, проєкція ВС перпендикулярна до прямої c, що лежить у площині α.

Приклад застосування

Задача. Доведіть, що через будь-яку точку прямої в просторі можна провести перпендикулярну до неї пряму.

Розв'язування

Нехай а — пряма і А — точка на ній. Візьмемо будь-яку точку Х поза прямою а і проведемо через цю точку і пряму а площину α. У площині α через точку А можна провести пряму b, перпендикулярну до а.

Примітки

1. . miyklas.com.ua (укр.). Архів оригіналу за 21 лютого 2022. Процитовано 21 лютого 2022.

Посилання

• (рос.)