Теорема про рух центра мас (центра інерції) системи — одна із загальних теорем динаміки, є наслідком законів Ньютона. Стверджує, що прискорення центра мас механічної системи не залежить від внутрішніх сил, що діють на тіла системи, і пов'язує це прискорення з зовнішніми силами, що діють на систему.
Об'єктами, про які йдеться в теоремі, можуть, зокрема, бути такі:
- система матеріальних точок;
- протяжне тіло або система протяжних тіл;
- взагалі будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл.
Формулювання теореми
Нерідко під час розгляду руху системи корисно знати закон руху її центра мас. У загальному випадку цей закон, що становить зміст твердження теореми про рух центра мас системи, формулюється так:
Добуток маси системи на прискорення її центра мас дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему.
Доведення
Нехай система складається з матеріальних точок з масами
і радіус-векторами
. Як відомо, центром мас (центром інерції) системи матеріальних точок називається геометрична точка, радіус-вектор
якої задовольняє рівності
де — маса всієї системи, що дорівнює
Диференціюючи (1) два рази за часом, для прискорення центра мас отримуємо:
де — прискорення матеріальної точки з номером i.
Для подальшого розгляду доцільно розділити всі сили, що діють на тіла системи, на два типи:
- Зовнішні сили — сили, що діють з боку тіл, які не входять у дану систему. Рівнодійну зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку з номером i, позначимо
.
- Внутрішні сили — сили, з якими взаємодіють тіла самої системи. Силу, з якою на точку з номером i діє точка з номером k, будемо позначати
. Відповідно, сила впливу i-ї точки на k-ту точку буде позначатися
. Зі сказаного очевидно, що якщо
, то
Використовуючи введені позначення, другий закон Ньютона для кожної з розглянутих матеріальних точок можна записати у вигляді
Підсумовуючи всі рівняння вигляду (3), отримаємо:
Вираз являє собою суму всіх внутрішніх сил, що діють у системі. Врахуємо тепер, що за третім законом Ньютона в цій сумі кожній силі
відповідає сила
така, що
і, отже, виконується
Оскільки вся сума складається з таких пар, то й сама сума дорівнює нулю. Таким чином, з (4) слідує
Далі, позначивши і підставивши отриманий вираз у (2), приходимо до рівняння
або до
Таким чином, рух центра мас визначається тільки зовнішніми силами, а внутрішні сили ніякого впливу на цей рух не мають. Формула (6) є математичним виразом теореми про рух центра мас системи.
Інше формулювання теореми
Звернемо увагу на те, що вигляд формули (6) збігається з виглядом формули другого закону Ньютона. Звідси випливає справедливість такого формулювання теореми про рух центра мас:
Центр мас рухається так, як рухалася б матеріальна точка, маса якої дорівнює масі системи, під дією сили, яка дорівнює сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему.
Закон збереження руху центра мас
З (6) випливає, що за відсутності зовнішніх сил, а також за рівності суми всіх зовнішніх сил нулю, прискорення центра мас дорівнює нулю, і, отже, його швидкість постійна. Таким чином, справедливим є твердження, що становить зміст закону збереження руху центру мас:
Якщо сума зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, то центр мас такої системи рухається зі сталою швидкістю, тобто рівномірно і прямолінійно.
Зокрема, якщо спочатку центр мас перебував у спокої, то в зазначених умовах він перебуватиме в спокої й надалі.
Із закону збереження руху центра мас випливає, що система відліку, пов'язана з центром мас замкнутої системи, є інерціальною. Під час вивчення механічних властивостей замкнутих систем надається перевага використанню саме таких систем відліку, оскільки таким чином виключається з розгляду рівномірний і прямолінійний рух системи як цілого.
Можливі випадки, коли сума зовнішніх сил нулю не дорівнює, але дорівнює нулю її проєкція на певний напрямок. В цьому випадку проєкція прискорення центра мас на цей напрямок також дорівнює нулю і, відповідно, швидкість центра мас уздовж цього напрямку не змінюється.
Значення
Доведена теорема розширює і обґрунтовує можливості використання поняття матеріальна точка для опису руху тіл. Дійсно, якщо тіло рухається поступально, то його рух повністю визначається рухом центра мас, який у свою чергу описується рівнянням (6). Таким чином, тіло, що рухається поступально, завжди можна розглядати як матеріальну точку з масою, що дорівнює масі тіла, незалежно від його геометричних розмірів. Крім того, тіло можна розглядати як матеріальну точку й у всіх тих випадках, коли, в силу умови задачі, обертання тіла інтересу не являє, а для визначення положення тіла достатньо знати положення його центра мас.
Практична цінність теореми полягає в тому, що при розв'язуванні задачі про визначення характеру руху центра мас вона дозволяє повністю виключити з розгляду всі внутрішні сили.
Історія
Закон збереження руху центра мас сформулював Ісаак Ньютон у своїй знаменитій праці «Математичні начала натуральної філософії», виданій 1687 року. І. Ньютон писав: «Центр ваги системи двох або декількох тіл від взаємної дії тіл одного на інше не змінює ні свого стану спокою, ні руху; тому центр ваги системи всіх тіл, що діють одне на одне (за відсутності зовнішніх дій і перешкод) або знаходиться в спокої, або рухається рівномірно і прямолінійно». Далі він робив висновок: «Таким чином, поступальну кількість руху чи окремого тіла, чи системи тіл, треба завжди розраховувати за рухом центра ваги їх».
Див. також
Примітки
- Краткий курс теоретической механики. — Москва : Высшая школа, 1995. — С. 273-280. — 416 с. — .
- Общий курс физики. — Москва : Физматлит; Изд-во МФТИ, 2005. — Т. I. Механика. — С. 115-116. — 560 с. — .
- Тарг С. М. Центр инерции (центр масс) // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 624-625. — 692 с. — 20 000 экз. — .
- Ісаак Ньютон. Математические начала натуральной философии = Philosophia naturalis principia matematica / Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова. — М. : Наука, 1989. — С. 45-49. — 688 с. — (Классики науки). — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema pro ruh centra mas centra inerciyi sistemi odna iz zagalnih teorem dinamiki ye naslidkom zakoniv Nyutona Stverdzhuye sho priskorennya centra mas mehanichnoyi sistemi ne zalezhit vid vnutrishnih sil sho diyut na tila sistemi i pov yazuye ce priskorennya z zovnishnimi silami sho diyut na sistemu Ob yektami pro yaki jdetsya v teoremi mozhut zokrema buti taki sistema materialnih tochok protyazhne tilo abo sistema protyazhnih til vzagali bud yaka mehanichna sistema sho skladayetsya z bud yakih til Formulyuvannya teoremiNeridko pid chas rozglyadu ruhu sistemi korisno znati zakon ruhu yiyi centra mas U zagalnomu vipadku cej zakon sho stanovit zmist tverdzhennya teoremi pro ruh centra mas sistemi formulyuyetsya tak Dobutok masi sistemi na priskorennya yiyi centra mas dorivnyuye geometrichnij sumi vsih zovnishnih sil sho diyut na sistemu DovedennyaNehaj sistema skladayetsya z N displaystyle N materialnih tochok z masami m i displaystyle m i i radius vektorami r i displaystyle vec r i Yak vidomo centrom mas centrom inerciyi sistemi materialnih tochok nazivayetsya geometrichna tochka radius vektor R c displaystyle vec R c yakoyi zadovolnyaye rivnosti R c i m i r i M 1 displaystyle vec R c frac displaystyle sum limits i m i vec r i M qquad qquad 1 de M displaystyle M masa vsiyeyi sistemi sho dorivnyuye i m i displaystyle sum limits i m i Diferenciyuyuchi 1 dva razi za chasom dlya priskorennya centra mas a c displaystyle vec a c otrimuyemo a c i m i a i M 2 displaystyle vec a c frac displaystyle sum limits i m i vec a i M qquad qquad 2 de a i displaystyle vec a i priskorennya materialnoyi tochki z nomerom i Dlya podalshogo rozglyadu docilno rozdiliti vsi sili sho diyut na tila sistemi na dva tipi Zovnishni sili sili sho diyut z boku til yaki ne vhodyat u danu sistemu Rivnodijnu zovnishnih sil sho diyut na materialnu tochku z nomerom i poznachimo F i displaystyle vec F i Vnutrishni sili sili z yakimi vzayemodiyut tila samoyi sistemi Silu z yakoyu na tochku z nomerom i diye tochka z nomerom k budemo poznachati f i k displaystyle vec f i k Vidpovidno sila vplivu i yi tochki na k tu tochku bude poznachatisya f k i displaystyle vec f k i Zi skazanogo ochevidno sho yaksho i k displaystyle i k to f i k 0 displaystyle vec f i k 0 Vikoristovuyuchi vvedeni poznachennya drugij zakon Nyutona dlya kozhnoyi z rozglyanutih materialnih tochok mozhna zapisati u viglyadi m i a i F i k f i k 3 displaystyle m i vec a i vec F i sum limits k vec f i k qquad qquad 3 Pidsumovuyuchi vsi rivnyannya viglyadu 3 otrimayemo i m i a i i F i i k f i k 4 displaystyle sum limits i m i vec a i sum limits i vec F i sum limits i sum limits k vec f i k qquad qquad 4 Viraz i k f i k displaystyle sum limits i sum limits k vec f i k yavlyaye soboyu sumu vsih vnutrishnih sil sho diyut u sistemi Vrahuyemo teper sho za tretim zakonom Nyutona v cij sumi kozhnij sili f i k displaystyle vec f i k vidpovidaye sila f k i displaystyle vec f k i taka sho f i k f k i displaystyle vec f i k vec f k i i otzhe vikonuyetsya f i k f k i 0 displaystyle vec f i k vec f k i 0 Oskilki vsya suma skladayetsya z takih par to j sama suma dorivnyuye nulyu Takim chinom z 4 sliduye i m i a i i F i 5 displaystyle sum limits i m i vec a i sum limits i vec F i qquad qquad 5 Dali poznachivshi i F i F displaystyle sum limits i vec F i vec F i pidstavivshi otrimanij viraz u 2 prihodimo do rivnyannya a c F M displaystyle vec a c frac vec F M abo do M a c F 6 displaystyle M vec a c vec F qquad qquad 6 Takim chinom ruh centra mas viznachayetsya tilki zovnishnimi silami a vnutrishni sili niyakogo vplivu na cej ruh ne mayut Formula 6 ye matematichnim virazom teoremi pro ruh centra mas sistemi Inshe formulyuvannya teoremi Zvernemo uvagu na te sho viglyad formuli 6 zbigayetsya z viglyadom formuli drugogo zakonu Nyutona Zvidsi viplivaye spravedlivist takogo formulyuvannya teoremi pro ruh centra mas Centr mas ruhayetsya tak yak ruhalasya b materialna tochka masa yakoyi dorivnyuye masi sistemi pid diyeyu sili yaka dorivnyuye sumi vsih zovnishnih sil sho diyut na sistemu Zakon zberezhennya ruhu centra mas Z 6 viplivaye sho za vidsutnosti zovnishnih sil a takozh za rivnosti sumi vsih zovnishnih sil nulyu priskorennya centra mas dorivnyuye nulyu i otzhe jogo shvidkist postijna Takim chinom spravedlivim ye tverdzhennya sho stanovit zmist zakonu zberezhennya ruhu centru mas Yaksho suma zovnishnih sil sho diyut na sistemu dorivnyuye nulyu to centr mas takoyi sistemi ruhayetsya zi staloyu shvidkistyu tobto rivnomirno i pryamolinijno Zokrema yaksho spochatku centr mas perebuvav u spokoyi to v zaznachenih umovah vin perebuvatime v spokoyi j nadali Iz zakonu zberezhennya ruhu centra mas viplivaye sho sistema vidliku pov yazana z centrom mas zamknutoyi sistemi ye inercialnoyu Pid chas vivchennya mehanichnih vlastivostej zamknutih sistem nadayetsya perevaga vikoristannyu same takih sistem vidliku oskilki takim chinom viklyuchayetsya z rozglyadu rivnomirnij i pryamolinijnij ruh sistemi yak cilogo Mozhlivi vipadki koli suma zovnishnih sil nulyu ne dorivnyuye ale dorivnyuye nulyu yiyi proyekciya na pevnij napryamok V comu vipadku proyekciya priskorennya centra mas na cej napryamok takozh dorivnyuye nulyu i vidpovidno shvidkist centra mas uzdovzh cogo napryamku ne zminyuyetsya ZnachennyaDovedena teorema rozshiryuye i obgruntovuye mozhlivosti vikoristannya ponyattya materialna tochka dlya opisu ruhu til Dijsno yaksho tilo ruhayetsya postupalno to jogo ruh povnistyu viznachayetsya ruhom centra mas yakij u svoyu chergu opisuyetsya rivnyannyam 6 Takim chinom tilo sho ruhayetsya postupalno zavzhdi mozhna rozglyadati yak materialnu tochku z masoyu sho dorivnyuye masi tila nezalezhno vid jogo geometrichnih rozmiriv Krim togo tilo mozhna rozglyadati yak materialnu tochku j u vsih tih vipadkah koli v silu umovi zadachi obertannya tila interesu ne yavlyaye a dlya viznachennya polozhennya tila dostatno znati polozhennya jogo centra mas Praktichna cinnist teoremi polyagaye v tomu sho pri rozv yazuvanni zadachi pro viznachennya harakteru ruhu centra mas vona dozvolyaye povnistyu viklyuchiti z rozglyadu vsi vnutrishni sili IstoriyaZakon zberezhennya ruhu centra mas sformulyuvav Isaak Nyuton u svoyij znamenitij praci Matematichni nachala naturalnoyi filosofiyi vidanij 1687 roku I Nyuton pisav Centr vagi sistemi dvoh abo dekilkoh til vid vzayemnoyi diyi til odnogo na inshe ne zminyuye ni svogo stanu spokoyu ni ruhu tomu centr vagi sistemi vsih til sho diyut odne na odne za vidsutnosti zovnishnih dij i pereshkod abo znahoditsya v spokoyi abo ruhayetsya rivnomirno i pryamolinijno Dali vin robiv visnovok Takim chinom postupalnu kilkist ruhu chi okremogo tila chi sistemi til treba zavzhdi rozrahovuvati za ruhom centra vagi yih Div takozhTeorema pro kinetichnu energiyu sistemi Teorema pro zminu kilkosti ruhu sistemiPrimitkiKratkij kurs teoreticheskoj mehaniki Moskva Vysshaya shkola 1995 S 273 280 416 s ISBN 5 06 003117 9 Obshij kurs fiziki Moskva Fizmatlit Izd vo MFTI 2005 T I Mehanika S 115 116 560 s ISBN 5 9221 0225 7 Targ S M Centr inercii centr mass Fizicheskaya enciklopediya v 5 t Gl red A M Prohorov M Bolshaya rossijskaya enciklopediya 1999 T 5 Stroboskopicheskie pribory Yarkost S 624 625 692 s 20 000 ekz ISBN 5 85270 101 7 Isaak Nyuton Matematicheskie nachala naturalnoj filosofii Philosophia naturalis principia matematica Perevod s latinskogo i primechaniya A N Krylova M Nauka 1989 S 45 49 688 s Klassiki nauki ISBN 5 02 000747 1